Por lógica, vamos a intentar que el chaval ande lo mas posible en bicicleta, ya que es mas lento andando.

Vamos a marcar ciertos momento en este viaje.

M0 que es cuando inician el paseo juntos
M1 Cuando el chaval (c) deja la bici
M2 Cuando la madre (m) recoge la bici
M3 Cuando llegan juntos

M0
(c)
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(m)
Tiempo t0
Distancia x0

M1
(m) (c)
——————————————-
X

El chico en t1 horas ha pedaleado X
Su madre en t1 segundos ha andado 4/5 X (Si la velocidad del chaval es 10km/h y la de su madre 8 km/h, en el mismo tiempo, ella ha andado 8/10 de lo andado por el chico)

M2
(m) (c)
——————————————-
X
En este momento, la madre ha recogido la bici. La madre ha andado en t2 horas lo que le faltaba has el punto X que es 1/5X. El chico al andar a 5 km/h y su madre a 8 km/h, ha andado 5/8 de lo andado por su madre en el mismo tiempo t2, que con respecto a X es 1/8.

M3
(m)(c)
——————————————-
X Y

Los dos llegan a Y. La madre ha pedaleado t3 horas recorriendo una distancia Y y su baby, en el mismo tiempo, ha recorrido la distancia Y menos lo anterior ya andado, 1/8X, es decir Y-5/8X.

Ecuaciones que nos salen
De M1

a) 10t1=X
b) 8t1=8/10X

De M2

c) 8t2=1/5X
d) 5t2=1/8X

De M3

e) 10t3=Y
d) 5t3=Y-1/8X

Resolviendo nos sale que X es igual a 1 e Y es igual a 1/4. Por tanto, el chico pedalea un entero del camino y anda 1/4 de esa distancia, que es donde se encuentra con su madre.

Finalmente

Por tanto, si la distancia son 25 kilómetros la manera mas rápida sería que el chaval recorriese 20 en bici y cinco andando. Lo que nos da un tiempo de 3 horas, mas el descanso y volverlo a hacer, 6 horas y media, resultado final:

12:30, como bien lo habían resuelto antes

y si he vuelto a meter la mata, que la vergüenza me coma….

x número de horas andadas por la madre
y número de horas en bicicleta de la madre
a número de horas andadas por el hijo
b número de horas en bicicleta por el hijo

Ya que llegan a la mitad juntos, no hace falta hacer el recorrido completo, si no sólo hasta la mitad. Es decir 25 kilómetros

Distancia que recorren en función del tiempo=

8x+10y=25
5a+10b=25

Añadamos algo mas. Ya que tardan el mismo tiempo

x+y=a+b

Uhmmm, tres ecuaciones con cuatro incógnitas….

Mucha letra ¿no? Pero si nos fijamos en el detalle que cuando uno anda, el otro va en bicicleta, podemos decir que

x=b ; y=a

Substituimos y quitando la redundancia de x+y=y+x

8x+10y=25
5y+10x=25

Resolvamos (paso de escribir porque sobre entiendo que en este lugar, todo el mundo lo puede hacer)

x=25/12. Lo que pasado a minutos es 125 minutos
y=5/6. 50 minutos.

Tiempo total, 175 minutos + 30 minutos + 175 minutos= 380 minutos que son 6 horas y 20 minutos

Si han salido a las 6, llegan a las 12 y 20

El padre hace 40Km andando y 10 en bici, el hijo al reves, 40 en bici y 10 andando). 3h hasta la mita + 0.5 de descanso + 3h para la otra mitad. Saliendo a las 6 de la mañana las 12:30.