Acertijo. El rollo de papel.

El día 1 de Enero estrené mi nuevo rollo de papel higiénico, y sé que me dura exactamente 1 mes hasta que se acaba, pero… ¿Qué día del mes el rollo tendrá la mitad de su grosor original?

(Considerad un rollo de papel de radio interno R y radio externo 2R)

Enviado por Juanma.

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14 comentarios en «Acertijo. El rollo de papel.»

  1. mm..

    [spoiler]el día 30 cuando se acabe el rollo completo tendrá la mitad (R) de su grosor original (2R)[/spoiler]

  2. Dejando a un lado los chistes, y entendiendo que se trata de saber qué día el rollo habrá sido consumido en grosor a la mitad (es decir, el radio será de R+R/2 ) planteo:

    [spoiler]
    Aproximando el rollo a un número de capas circulares concéntricas (aunque en realidad es sea espiral) tenemos que:

    La longitud del papel será de L = 2·PI·(r1+r2+r3+r4+…+rn) siendo
    ri el radio de las sucesivas capas: ri=r1+(i-1)·incr
    incr la diferencia en radio entre la circunferencia que forma una capa y la siguiente.

    Así L = 2·PI·[r1+ r1+incr + r1+2·incr +…+ r1+(n-1)·incr] =
    = 2·PI·[n·r1+incr·SUM(1+2+3+…+n-1)] = 2·PI·[n·r1+incr·n·(n-1)/2]

    Esto vale para cualquier número de vueltas n.

    Tomemos dos casos particulares, uno el que conocemos (rollo completo) y otro el que queremos conocer (rollo a mitad de grosor)

    1) k vueltas. rk = R+(k-1)·incr = 2R ==> Lk = 2·PI·[k·R+ k·R/2] = PI·k·3·R

    2) j vueltas. rj = R+(j-1)·incr = 3R/2 ==> Lj = 2·PI·[j·R+ j·R/4] = PI·j·5·R/2

    Como j=k/2, la longitud en el caso 2 será Lj = PI·k·5·R/4 = 5·Lk/12

    Así pues, el día cuyo grosor sea la mitad nos quedarán 5/12 de todo el papel.

    Si cagamos a un ratio constante a lo largo del mes, esto sucederá en 17’5 días, de un mes de 30. [/spoiler]

  3. Creo que Caesargreat se fue por las ramas y se lo tomó muy académicamente…
    [spoiler]
    El grosor del cilindro de cartón (circulo interno) es de 2x
    el grosor de un papel higiénico nuevito (circulo externo) es 4x

    Qué día del mes el rollo tendrá la mitad de su grosor original?
    ¿cuando el rollo llega a ser 4x / 2 = 2x?

    cuando sólo queda el cartoncito… y eso pasa el último día.
    [/spoiler]

  4. LordGraphic3, no se trata de irse por las ramas o de ir al grano. Se trata de saber cual es el enunciado del problema. Está claro que tú y yo tenemos opiniones diferentes, y entiendo que o bien José o bien Juanma nos dirán cual es exactamente la que ellos querían plantear.

    Si se trata de averiguar cuándo se alcanzará la mitad de grosor del rollo completo, tubo+papel, la solución es la que tú indicas, pero sinceramente, yo no catalogaría la hazaña de averiguar que el papel se nos acabará el día en que se nos acabe el papel, es decir, el último, ni de acertijo ni de geométrico.

    Si se trata de averiguar cuándo se alcanzará la mitad de grosor DEL PAPEL, es decir el rollo completo tendrá un radio de R+R/2, entonces te ruego que nos expongas tú una solución menos académica que la mía. Seguro que la hay y nos enriquecerá a todos.

    Mientras tanto sigo manteniendo que la solución es la que dije: 18 de Enero.

  5. Perdón por el lapsus. ¡Y mira que lo ha dicho aOsI que Enero tiene 31 días y no 30!
    [spoiler]
    31·7/12 = 18,08. (ver razonamiento en respuesta 5)
    Es decir, correrán las primeras horas del día 19 de Enero.

    [/spoiler]

  6. Bien por la respuesta de pensamiento lateral, pero mejor por la respuesta de Caesargreat. Mi acertijo era matemático y su respuesta es correcta.

  7. Hay una manera más simple, y es sustituir todo el desarrollo de sumatorios (o el equivalente cálculo integral) considerando el papel como un «volumen», que se consume a un ratio constante:
    [spoiler]
    El volumen total de papel es PI·(2^2-1^2)·R·L= 3·K
    El volumen gastado hasta que queda la mitad de grosor es PI·(2^2-1,5^2)·R·L=1,75·K

    Así pues, si gasto 3K en 31 días, gastaré 1,75K en 31·1,75/3= 18,08 días.

    [/spoiler]

  8. Estuve pensando en el problema y la solución que me dió es:
    [spoiler] El día 13 de Enero. [/spoiler]
    Luego miré las soluciones para ver si estaba ya una respuesta como la mía. Me dí cuenta que el planteamiento de Caesargreat era similar al mío, pero que o estaba calculando otra cosa por haber leído mal el problema. Lo que yo calculé es cuando se habría gastado la mitad del papel del rollo. Evidentemente es un problema distinto, aunque creo que tiene una solución similar a la otra, pues obtengo que se produce a los 5/12 del mes.

Los comentarios están cerrados.