El radio es 27 cm

No pondre como he llegado a esta conclusion porque es un poco caotica la forma en la que la he ejecutado, pero me da 32,728

Usando pitágoras y sabiendo que a+b=p-h=189, obtengo a=108 y b=81.
El área de un triángulo rectángulo es la mitad de su perímetro por el radio de la circunferencia inscrita:
A=p*r/2
Como también A=a*b/2, tenemos que:
a*b=p*r

r=a*b/p=27cm

324 cm perímetro = a + b + h y su hipotenusa h = 135 cm
324 – 135 = 189 = a + b

Pitágoras:
a^2 + b^2 = 135 ^ 2

sustituyendo: b = 189 – a
a^2 + (189-a)^2 = 135^2
2*a^2 – 2*a*189 + 189^2 = 135^2
2 , – 2*189 , 35721 – 18225 = 17496 …
1 , -189 , 8748

Resolviendo: a=108 y b=81

ángulo menor del triángulo = arctan(81/108) = 36,87

Pinto el triángulo y la inscrita, obteniendo la relación siguiente:

r + 108/81*r + r / seno = 108
r / l = seno
r = 108 / (1 + 108/81 + 1/seno) = 108 / (1+4/3+5/3) = 108/4 = 27 cm

67,5 cm