La solución aportada es la correcta, y la explicación de Sara es correcta, aunque no queda muy claro de donde sale la fórmula, y eso es lo que puedo aportar a mayores yo. Simplemente es uno más que la suma de términos de la progresión aritmética 1+2+3+4+5+6 (y con un corte más aparecerían 7 trozos más). Esto se debe a que cada corte añade un trozo más que las intersecciones con los demás cortes y cada corte cortará a todos los demás siempre que ninguno de los cortes sea paralelo (eso si, algunos podrían estar demasiado alejados como para aparecer en el interior de la tarta, pero esto no es problema porque estamos pidiendo el número máximo).
No se si conseguí explicarme o me compliqué demasiado.

Creo que existiría una fórmula general para este problema, que sería que para n cortes se pueden crear como máximo (1+2+…+n) + 1 regiones (o lo que es lo mismo: (n+1) (n)/2 + 1).

Empecemos a cortar la tarta y veamos lo que ocurre con cada corte que damos: para un corte es evidente que sólo se obtendrán dos regiones, con dos cortes obtendrémos el máximo número de regiones si intersecamos el corte anterior (4). Evidentemente sólo se puede intersecar una sola vez, porque si no estaríamos superponiendo los cortes… Si ahora seguimos dando otro corte obtendremos también mayor número de regiones mientras más intersecciones haya, que en este caso como máximo son dos (una por cada corte anterior). Así, podemos obtener el máximo número de regiones si empezamos a cortar y tenemos cuidado de que cada nuevo corte interseccione a todos los cortes anteriores.

¿Y cómo comprobar que el número máximo cumple la fórmula? Pues por ejemplo por inducción. Es fácil ver que para 1 corte, dos o tres la fórmula se cumple. Ahora veamos también que si para n cortes la fórmula se cumple, para n +1 también se cumple:

Imaginemos que hemos cortado con n cortes obteniendo (1 + 2 + … + n) + 1 regiones. Ahora hacemos otro corte que interseque a cada uno de los cortes anteriores; así se obtienen n + 1 regiones nuevas (eso ya no lo demuestro), que con las anteriores nos da un total de (1 + 2 + … + n + (n + 1) ) + 1, como queríamos demostrar.

Para 6 cortes, entonces, el máximo número de regiones sería 22… La verdad es que pensé que algo se me había olvidado y que no lo había razonado bien cuando vi la solucion de Tio Eliatron, pero, si lo he mirado bien, la región 16 no aparece por ningún lado, lo que hace un total de 22 regiones.

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