Son 5!!

Estaba casi seguro de que eran 7, a primera vista, claro.
Pero claro, sería demasiado fácil y si se pone el problema es por algo…

Si no eran 7 descarté rápido que fueran 6, porque en ese caso el triángulo equilátero BCD debería estar en el mismo plano que el cuadrado FGHI … que es como están originalmente (“en el suelo” ambas caras) … y eso no es posible porque A debe girar sobre el eje BC (=GF) para coincidir con E (si no se hace ese giro no coincidirán, y si se hace se levanta del suelo BCD)

Por otro lado, si el vértice D estuviese en el mismo plano que H, es decir si (AE)(BG)D es el mismo plano que (AE)(BG)H … por simetría también D debería coincidir en otro plano con I , es decir, (AE)(CF)D sería el mismo plano que (AE)(CF)I . En caso de ocurrir esto, serían 5 caras.

Incluso intenté demostrar que estas coincidencias eran imposibles! pero no lo lograba!
Cuando empecé a verlo claro fue cuando supuse que eran coincidentes esos planos y lo dibujé: la unión de equiláteros unidos por un lado resulta en un rombo (de ángulos 60º y 120º) : D(AE)H(BG) de forma que D(AE) es paralelo a H(BG) e igual por la parte simétrica, sustituyendo H por I y (BG) por (CF)
Eso coincidía con lo que había imaginado de que si D estaba en ambos planos debería estar en una recta paralela al cuadrado (“paralela al suelo”) que pasase por (AE)

Nota: dicho con palabras quizá no se imagine y no se entienda mucho… pero si se dibujan las figuras creo que se entiende mejor.

Y al hacer el dibujo vi que podría extender la estructura añadiendo otra pirámide cuadrangular, pegada a la primera por el lado FG … y con eso ya se ve clarísimo!!!
La distancia de E’ (el vértice superior de la nueva pirámide) a E se ve que es claramente igual al lado del cuadrado… y el tetraedro se ve perfecto descansando entre ambas.!!

Como comentario final, decir que en las clases de química ya vi algunas coincidencias de este tipo en estructuras tridimensionales de los cristales (por ejemplo, en un cubo=hexaedro regular, con diagonales en las caras se forma un tetraedro regular… cada diagonal de cada una de las 6 caras sería una arista de las 6 que forma el tetraedro regular )

En el caso del problema, la estructura tridimensional estaría formada por octaedros regulares (la pirámide cuadrangular no es otra cosa que la mitad de un octaedro regular) de forma que los huecos que dejan entre sí forman tetraedros regulares… Mágico ¿verdad?

Otra curiosidad es que el octaedro regular surge de tomar los puntos centrales de cada una de las 6 caras de un cubo, para que formen los 6 vértices del octaedro.
Se puede ver en este enlace:
http://www.xqiu.org/projects_phd_manganite.htm

Busqué en Google cristales de este tipo y encontré este:
http://www.isis.rl.ac.uk/isis2002/highlights/5_FormationIsomorphic.htm
(ahí se ven los octaedros y cómo se forman tetraedros en los huecos)
Pero luego vi que incluso cristales más de andar por casa también se podrían considerar que forman esa estructura. Y nunca mejor dicho lo de andar por casa, ya que la misma sal común, Cloruro Sódico (NaCl) formaría una estructura tridimensional de átomos que puede verse
http://en.wikipedia.org/wiki/Sodium_chloride#Crystal_structure
como octaedros (los átomos de Cloro, más grandes, se serían como vértices de cubos y los de Sodio, más pequeños, situados en puntos centrales de las caras del cubo, formarían octaedros regulares)

7 lados. A excepción de los 2 lados que se unen ningún otro par de lados se combinan porque tienen diferente inclinación (las caras laterales y la base) y no pueden formar una cara plana única.

(AE)H(GB)D – (AE)(FC)ID – (BG)(CF)D – (BG)(FC)HI – EIH

7