Un grupo de 20 vaqueros en el antiguo Oeste sale a cazar búfalos; son todos excelentes tiradores y cuentan cada uno con un Winchester , que solo puede disparar una bala.
De repente se encuentran con una manada de 20 bufalos que corre hacia ellos.
Cada uno apunta a un bufalo al azar y realizan su disparo simultáneamente. Como son buenos tiradores , todos aciertan con su pieza , y el bufalo alcanzado ( sea por una o más balas) cae muerto.
En promedio , ( es decir si este proceso lo repitieramos un numero elevado de veces) , cuantos bufalos morirán?
NOTA: Al ser un acertijo matemático y que no da un numero entero como solución , se admite la repuesta «matemática» o la aproximacion «real».
en realidad habria que ver si cada tirador tenia un bufalo en la mira, y que estos no sean los mismo. posiblemente habrian atinado a unos 8
Con el calor no tengo ganas de buscar la formaula matematica, es mas facil usar una simulación por ordenador.
[spoiler]
He simulado que cada vaquero dispara a uno de los 20 bufalos al azar, es decir un numero aleatorio entre 1 y 20.
En total 20 numeros aleatorios entre 1 y 20. Despues he contado cuantos numeros distintos han salido en cada grupo de 20 aleatorios.
He repetido este proceso muchas veces. Para 3000 grupos de 20 lanzamientos. Quedando así
Bufalos Nº de veces
Muertos Veces
8 3
9 14
10 110
11 417
12 659
13 875
14 601
15 250
16 62
17 8
18 1
La media de los datos es 12,81 y la moda 13.
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Se ha descuadrado un poco la columna de datos.
[spoiler]
la primera columna es el numero de bufalos que mueren y la segunda el numero de simulaciones en que mueren ese numero de bufalos exactamente.
Es decir, de las 3000 simulaciones mueren exactamente 8 bufalos en 3 simulaciones, exactamente 9 bufalos 14 veces, 10 bufalos 110 veces…..
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He hecho lo mismo que RaiderDK obteniendo:
[spoiler]12,71[/spoiler]
De igaul modo, la fórmula matemática, ni idea.
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He calculado la esperanza y me da 12.83028155182915531285179119110107421875. Quizás exista una forma más fácil de calcularla, pero yo he tenido que calcular la probabilidad de que caigan muertos exactamente X búfalos. [/spoiler]
Yo esperaba ( espero todavía , jeje) también el razonamiento lógico que lleva a una solucion sencilla. ( solo es necesaria la calculadora para evitar realizar a mano operaciones básicas)
Se puede plantear desde el punto de vista del búfalo ( para mí , lo más facil) o bien desde el punto de vista del cazador.
Planteadlo inicialmente con 5 y 5 , aquí ni siquiera es necesaria la calculadora.
Sugiero lo siguiente:
[spoiler]Suponiendo que “X” es la variable aleatoria discreta que indica la cantidad de disparos recibidos por cada búfalo, podría ser usada la distribución binomial para encontrar la probabilidad en “X” de que cada valor “x” (minúscula) es igual o mayor que 1. Esto es porque son requeridas una o más balas golpeando a un búfalo para que éste muera, por lo que el cálculo de esta probabilidad indicaría el promedio de búfalos que mueren luego de varias repeticiones.
Para ello se tomaría un valor n = 20, el cual indica la cantidad de eventos aleatorios independientes que ocurren de modo simultáneo con una probabilidad p = 0.05 (ó 1/20).
Es decir:
X ~ B(20, 0.05)
La probabilidad PX[x >= 1] (de que “X” adopte un valor mayor o igual que 1) puede ser calculada del modo siguiente: 1-PX[x = 0] (es decir, 1 menos la probabilidad de que los búfalos reciban ningún disparo).
Usando la función de densidad de la distribución binomial (consultar por ejemplo: http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial) se encuentra que esa probabilidad es aproximadamente 0.64, y para saber la frecuencia de animales que mueren se multiplica esa probabilidad por 20, resultando 12.8 de modo aproximado. Puesto que no es razonable considerar fracciones de búfalos o de disparos, la cantidad de búfalos muertos sería entre 12 y 13.
Podría ser usado otro método. Cuando n >= 20 y el valor de p es relativamente bajo, la distribución binomial puede ser aproximada con la distribución de Poisson, usando un valor lambda (o media) igual que el múltiplo de “n” por “p”, es decir que lambda = 1.
X ~ P(1)
Usando un razonamiento similar con la función de densidad de la distribución de Poisson (ver por ejemplo, http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Poisson) el valor de PX[x >= 1] es aproximadamente 0.63.[/spoiler]
Sugiero lo siguiente
[spoiler]Considerando “X” como la variable aleatoria discreta que indica la cantidad de disparos recibidos por cada búfalo, la solución podría estar en encontrar la probabilidad de que la variable adopte un valor igual o mayor que 1, esto porque para que muera un búfalo basta con que un disparo lo alcance, de modo que con ese resultado se podría calcular la frecuencia promedio de búfalos que mueren luego de repetir muchas veces el experimento.
Para dicho cálculo puede ser usada la distribución binomial, usando n = 20 (la cantidad de eventos aleatorios independientes que ocurren de modo simultáneo) con una probabilidad p = 0.05 (ó 1/20); tal que:
X ~ B(20, 0.05)
Usando la función de densidad de probabilidad de la distribución binomial (consultar por ejemplo http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial ) es relativamente sencillo calcular PX[x >= 1] (la probabilidad de que cada elemento de la variable adopte un valor igual o mayor que 1) mediante el cálculo previo de la probabilidad 1-PX[x = 0] (1 menos la probabilidad de que los búfalos reciban ningún disparo)
El resultado de la probabilidad es aproximadamente 0.64, por lo que la frecuencia sería encontrada al multiplicar dicha probabilidad por 20, esto es 12.8. Puesto que no es razonable considerar fracciones de seres vivos o de disparos, el promedio de búfalos que mueren sería 12 ó 13 (o «entre 12 y 13» como algunos acostumbran reportar).
De hecho, existe otro método. Cuando n >= 20 y p tiende a cero, la distribución binomial puede ser aproximada con la distribución de Poisson, usando como valor de lambda (o media) al múltiplo de n por p; tal que:
X ~ P(1)
Mediante la función de densidad de la distribución de Poisson (http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Poisson ) el resultado de la probabilidad PX[x >= 1] es aproximadamente 0.63. [/spoiler]
Gigio dio una respuesta correcta…
Pero me temo que muchos lectores sin formación matemática no le entenderán (lo que dice no lo estudié hasta la universidad, en tercer o cuarto curso) o deberán leer varias páginas de Wikipedia antes.
Con la pista que da Jose:
Cada búfalo se libra de morir… si el primer cazador dispara a uno de los otros 19 búfalos, y el segundo cazador dispara a uno de los 19 otros… etc
El que un cazador dispare a uno de los otros 19 tiene una probabilidad de 19/20 = 0,95
El que los 20 cazadores hagan eso basta elevar a 20 lo anterior…
Así que SE LIBRA con probabilidad = (19/20)^20 = 0,3585
Por tanto la PROBABILIDAD DE MORIR UN BUFALO ES: 1-0,3585 = 0,6415
El número de búfalos promedio será la probabilidad de un búfalo por el número de búfalos: 12,830281551829155312851791191101
(es el resultado que dio juanjo)
Y también coincide con el que dijo Gigio.
En el caso de 5 sería: 1-.8^5 = 1-32768/10000 = 0,67232
0,67232 * 5 = 3,3616