Acertijo matematico. Cazando búfalos

He simulado que cada vaquero dispara a uno de los 20 bufalos al azar, es decir un numero aleatorio entre 1 y 20.

En total 20 numeros aleatorios entre 1 y 20. Despues he contado cuantos numeros distintos han salido en cada grupo de 20 aleatorios.

He repetido este proceso muchas veces. Para 3000 grupos de 20 lanzamientos. Quedando así
Bufalos Nº de veces
Muertos Veces
8 3
9 14
10 110
11 417
12 659
13 875
14 601
15 250
16 62
17 8
18 1

La media de los datos es 12,81 y la moda 13.

Para dicho cálculo puede ser usada la distribución binomial, usando n = 20 (la cantidad de eventos aleatorios independientes que ocurren de modo simultáneo) con una probabilidad p = 0.05 (ó 1/20); tal que:

X ~ B(20, 0.05)

Usando la función de densidad de probabilidad de la distribución binomial (consultar por ejemplo http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial ) es relativamente sencillo calcular PX[x >= 1] (la probabilidad de que cada elemento de la variable adopte un valor igual o mayor que 1) mediante el cálculo previo de la probabilidad 1-PX[x = 0] (1 menos la probabilidad de que los búfalos reciban ningún disparo)

El resultado de la probabilidad es aproximadamente 0.64, por lo que la frecuencia sería encontrada al multiplicar dicha probabilidad por 20, esto es 12.8. Puesto que no es razonable considerar fracciones de seres vivos o de disparos, el promedio de búfalos que mueren sería 12 ó 13 (o “entre 12 y 13″ como algunos acostumbran reportar).

De hecho, existe otro método. Cuando n >= 20 y p tiende a cero, la distribución binomial puede ser aproximada con la distribución de Poisson, usando como valor de lambda (o media) al múltiplo de n por p; tal que:

X ~ P(1)

Mediante la función de densidad de la distribución de Poisson (http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Poisson ) el resultado de la probabilidad PX[x >= 1] es aproximadamente 0.63.