Acertijo matematico.Otro de probabilidades

Cuatro personas excéntricas se reunen para comer una tarta. A la hora de cortarla en trozos, deciden que uno de ellos se levantará y dará dos cortes con una espada sobre la tarta con los ojos vendados, de manera que el trozo que toque a cada uno tenga tamaño aleatorio y así el festín tenga mayor emoción.

El problema que tienen con este método tan aleatorio es que no saben con seguridad si la tarta quedará dividida en cuatro trozos o no.

¿Qué probabilidad tienen de que esto suceda?

(Suponed que la tarta es circular y que la espada corta en dirección perpendicular a la tarta, es decir, no valen cortes oblicuos)

Acertijo enviado por Juanma.

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33 comentarios en «Acertijo matematico.Otro de probabilidades»

  1. ¿dirección perpendicular a la tarta,? ¿Qué quieres decir con eso? ¿Que los cortes han de pasar exactamente por el centro de la trata circular?

    Me parece que a este problema le falta alguna aclaración

  2. El tipo de corta por casualidad el dedo y tienen q ir al hospital. Nadie come torta. 0% probabilidad de cortarla mal XD
    Pasando de eso, me hago la misma pregunta que Tito. Los cortes tienen q pasar por el centro?

  3. no me ames… solamente tienes una posibilidad de que haya 4 pedazos con solamente 2 cortes, es decir, la unica posibilidad de que esto ocurra es sí ambos cortes se cruzan y cortan de extremo a extremo.

    ahora bien, en probabilidades tenemos que:

    2= X X
    2= X Y
    2= YY
    2= YZ
    2= ZZ
    2= XZ
    2= Z´Z

    X= Falla el corte
    Y= Corta pero no atraviesa de extremo a extremo
    Z=Corta y atraviesa de extremo a extremo
    Z´Z= corta y atraviesa de extremo a extremo y ambos cortes se cruzan

    la probabilidad es 1 en 7

  4. Los cortes son por cualquier sitio, siempre que atraviesen la tarta, y sin pasar necesariamente por el centro. El problema sin adornos sería éste: Una circunferencia es atravesada por dos rectas, ¿cuál es la probabilidad de que se divida en cuatro trozos?

  5. yo insisto juanma… solo existe una posibilidad de que 2 cortes te den 4 trozos: solamente cuando ambos cortes de cruzen en algun lado

  6. tomando el último comentario de paco!!
    [spoiler]
    supongo que sea 1 en r(pi)(r-2)
    donde r es el diámetro de la tarta en mm. ( o podría ser en una medida más chica que ésta)
    [/spoiler]

  7. Sí, paco, se divide en cuatro trozos cuando los cortes se cruzan, pero la probabilidad de que estos cortes se crucen no es 1/7.
    Se supone además que todos los cortes atraviesan la tarta de extremo a extremo, es decir, que no hace falta que consideres los casos «falla» o «corta a medias»

  8. Bueno, no sé si lo he entendido bien, pero ahí va mi apuesta. [spoiler] 1/2 , ya que se diviría en 4 cuando no sean cortes paralelos [/spoiler]

  9. suave… es que juanma da alguna pista!! porque en serio que no se que demonios quieres!! ya te dije que solo existe UNA posiblidad de que dos cortes te den 4 trozos… pero supongamos que se vendo los ojos, dio ambos cortes desde la misma posicion y sin girar la tarta… entonces la probabilidad sería 0 ya que no se podrian cruzar =S

  10. Supongo que con «perpendiculares a la tarta» nos referimos a los típicos cortes que hacemos en una tarta o similar…
    esto es, si la torta es de forma cilindrica (con un radio mayor que la altura), cortando en dirección paralela a la altura del cilindro.

    supongo también que todos los cortes atraviezan la circunferencia de la tarta exáctamente dos veces… esto es que ningun corte es tangente o exterior a la tarta…

    si esto es así,
    Creo que la respuesta es:

    [spoiler /Mi Respuesta/Mi Respuesta /]

    la probabilidad de que hayan 4 pedazos luego de dos cortes es:
    1/2

    Explicación:
    ————–

    hacer dos cortes en la tarta es equivalente a fijar 4 puntos (que no tienen porqué ser todos distintos entre sí) y trazar luego las rectas que unen al primer par entre sí y al segundo par entre sí
    o sea, hacer los cortes 1, 2, 3, y 4, y luego unir los puntos 1 con 2, y 3 con 4.

    los primeros dos puntos (el primer corte) los fijamos arbitrariamente, ya que no cambian en nada el problema, siempre van a dividir la tarta en dos pedazos…

    el 3° punto puede estar en uno u otro pedazo, pero no cambia en cuál esté…

    ahora, el 4° puede estar en el mismo pedazo que el 3° o en el otro pedazo …

    – si está en el mismo pedazo que el 3° punto, el segundo corte dividirá uno de los dos pedazos originales en dos,
    resultando en un total de 3 pedazos

    – si está en el pedazo que no tiene al punto 3, el segundo corte dividirá la torta en cuatro pedazos…

    como no hay otras posibilidades, en uno de los dos casos posibles, la torta es dividida en 4 😀

    RTA: 1/2

    [/spoiler]

  11. Ahí va mi solución:

    [spoiler]Yo lo plantearía como la probabilidad de que el segundo corte interseccione con el primero dentro de la circunferencia. Está claro que esta probabilidad depende de cómo quede el primer corte. Si este pasa por el centro, es obvio que la probabilidad es la máxima, pero si pasa por una esquinita muy pequeña, la probabilidad es muy baja. Así que tenemos un primer corte que nos divide la circunferencia en dos arcos: llamaré a1 y a2 a la longitud de estos arcos, por simplicidad.

    ¿Cómo hallamos la probabilidad de que el segundo corte corte al primero (valga la redundancia? Un corte pasa por dos puntos de la circunferencia. Entonces, cuando estos dos puntos de corte con la circunferencia estén en el mismo arco, a1 ó a2, habremos dividido la misma en tres. Mal, error. Sólo cuando un punto esté en un arco y el otro punto en el otro habremos dividido en cuatro.

    Ambos puntos de corte con la circunferencia son independientes entre sí, entonces se multiplican las probabilidades.

    La probabilidad de que el p1 esté en el a1, es a1/(2piR). La probabilidad de que p2 esté en a2, es a2/(2piR).

    Por lo tanto, la probabilidad de cortar la tarta en cuatro pedazos es a1*a2/(2piR)^2, donde R es el radio de la tarta y a1 y a2, como hemos dicho, son las longitudes de los arcos que deja el primer corte.[/spoiler]

  12. Perdón, me he dejado una cosa antes:

    [spoiler]Me he dejado el caso en el que p1 cae en a2 y p2 cae en a1. Con lo que la nueva probabilidad de que la tarta quede dividida en cuatro pedazos es 2*a1*a2/(2piR)^2.

    De aquí extraemos que las probabilidades van variando desde 0 hasta 0.5 dependiendo de cómo quede el primer corte. ¿A alguien se le ocurre cómo sumarlas todas ponderadas por la probabilidad de que el primer corte quede de una determinada forma?[/spoiler]

  13. Y para finalizar, un poco por intuición, no sé si será correcto:

    [spoiler]Cogemos la probabilidad citada antes de 2*a1*a2/(2piR)^2, poniendo a2 en función de a1 (2piR-a1), multiplicamos por diferencial de a1 e integramos de cero a piR. Y el resultado (piR/3) lo dividimos por la circunferencia, con lo que nos queda que la probabilidad de dividir la tarta en cuatro es 1/6.[/spoiler]

  14. Bueno resolviendolo por probabilidades mi resultado es 1/2

    Dado que la probabilidad de que el primer corte abarque menos de un 50% del arco total es «1» y asumiendo que la probabilidad que la distrubucion del corte es uniforme en el arco, entonces se sabe que:

    La distribucion uniforme del primer corte es dx/(pi*R). Donde x es la probabilidad que el corte abarque un «x-medio-de-longitud del arco». Entonces si se integra en el intervalo 0-pi*R, el resultado es «1». (Esto es solo para la condición de borde y define las variables)

    De acuerdo a la condicion de un corte existente con una probabilidad x, ya se tiene una division y se puede expresar la probabilidad de corte como la suma de las condiciones en las cuales se cortan , que son 2:

    Donde: primer un punto cae dentro del arco x * segundo un punto que cae fuera del arco x
    x/(2*pi*R) * (1-(x/(2*pi*R)))

    Donde: primer un punto que cae fuera del arco x * segundo un punto cae dentro del arco x
    (1-(x/(2*pi*R))) * x/(2*pi*R)

    Estas condiciones deben sumarse dado que son una condicion «o» (La condicion «y» debe multiplicarse). Dando como resultado de la probabilidad de corte:
    x/(pi*R) * (1-(x/(2*pi*R)))

    Como este es el resultado de la integracion de la probabilidad al arco de longitud x, debe derivarse con respecto a x y luego integrar sobre toda la region de posibles valores de x. La cual corresponde a [0,pi*R]. Lo cual es exactamente lo mismo que rehemplazar x = pi*R.

    pi*R/(pi*R) * (1-(pi*R/(2*pi*R)))= 1*(1-(1/2))=1/2

    0.5.

  15. Daniel, hasta donde has sacado la probabilidad de corte, el desarrollo es el mismo que el mío. El último paso ya me pierdo. No sé por qué lo haces así.

    Juanma, ¿a lo mejor tenía que haber dividido por piR, en vez de por 2piR? ¿El resultado es 1/3?

  16. Juanma, dices que hay un método sencillo. Tal vez lo siguiente:

    Haces un corte y para el segundo corte hay tres casos posibles: que no corte al primero y caiga en el arco 1, que no corte al primero y que caiga en el arco 2, o que corte al primero. 1 de 3, 1/3. Eso coincidiría con mi desarrollo anterior, pero no lo acabo de ver claro.

    Tú dirás.

  17. Claro tienes razon Iñaki, mi error esta en considerar solamente la mitad de la circunferencia para la integracion. Segun un modelo de monte carlos del asunto el resultados de 16.78% aproximadamente o sea 1/6.

    A ver si me logro explicar mejor para aquellos mas interesados en estudio de probabilidades.
    [spoiler]
    Probabilidad que ocurra un arco de tamaño «x» que abarque un porcentaje «P1» del arco total:
    P1=dx/(2*pi*R)
    NOTA: Porcentaje = Probabilidad = P1 . La probabilidad que ocurra un arco de tamaño especifico es 0. Pero se puede representar como un diferencial dx infinitamente pequeño y luego se divide por el total del perimetro para conocer su probabilidad.

    Luego probabilidad que ocurra el evento de «corte» dado que ocurre P1 es:
    P(Pcorte|P1) = x/(2*pi*R) *(1-x/(2*pi*R));

    Por ser probabilidades condicionales (O sea que una depende de la otra) deben sumarse todas las posibilidades conjuntas.

    Las probabilidades condicionales afirman que:
    Pcorte= SUMA( P1*P(Pcorte|P1) ) Cuando son probabilidades discretas
    Pcorte= Integral( P1*P(Pcorte|P1) ) Cuando son probabilidades continuas

    Si se integra todo el espacio de arcos X posible desde 0 hasta 2*pi*R en la funcion:

    P1*P(Pcorte|P1)= x/(2*pi*R)^2 *(1-x/(2*pi*R)) * dx

    Este dara como resultado:

    Pcorte= Integral( P1*P(Pcorte|P1) ) = 1/6

    [/spoiler]

  18. Iñaki, en tus últimos comentarios das la solución correcta. Supongo que la manera de verlo es así:

    Cuando trazas dos rectas al azar sobre un círculo estás situando cuatro puntos al azar sobre una circunferencia, no? Si llamamos a estos puntos A, B, C y D, los pares de rectas que pueden salir al unirse estos puntos son:

    AB y CD
    AC y BD
    AD y BC

    Si se hace el dibujo, se ve que en uno de los casos se cruzan y en los otros dos no, así que la probabilidad sería 1/3, que es parecido a la explicación de Iñaki.

    Lo siento si el acertijo no fue claro en un principio.

  19. De acuerdo. Entonces el planteamiento y el desarrollo, desde el punto de vista matemático, era correcto. Había cometido el error de integrar en 0 a piR y dividir por 2piR. Esto no es correcto. O integramos para media circunferencia, de 0 a piR y divides por 2piR, o bien, análogamente, integramos para toda la circunferencia, de 0 a 2piR y dividimos por 2piR. Así da el resultado correcto, 1/3.

    Lo cierto es que es mucho más sencillo con tu forma, o con la mía del comentario anterior, que es la misma pero dicho de otro modo. Sin embargo, tardé en verla. Siempre tiro primero por el camino matemático. Deformación profesional, supongo…

  20. Siempre llego tarde, pero me permitireis que os diga como lo he hecho. El primer corte deja la tarta dividida en dos partes, una con superficie P1 y otra con superficie P2. Si consideramos 1 la superficie total de la tarta (para poder tratar probabilidades sin tener que normalizar) P2=1-P1. Considerando ahora la segunda recta como dos puntos al azar, la probabilidad de que uno caiga en P1 y el otro en P2 es 2P1P2. Sumando ahora para todos los valores de P1 entre 0 y 1, todos ellos equiprobables tenemos Integral entre P1=0 y P1=1 de 2•P1•(1-P1) que es 1/3.

  21. Sin embargo, aunque cuando los dos puntos caen en lados distintos P1 y P2 las rectas se cortan necesariamente, tambien hay casos en los que si ambos caen en el mismo lado, la recta que pasa por ellos acaba cortandose con la primera, por lo que me temo que la probabilidad es mayor que 1/3. El metodo que dice Juanma no me parece correcto tampoco. Hay casos de 4 puntos al azar en los que ab-cd, ac-bd y ad-bc, forman rectas que se cruzan en los tres casos.

  22. No, no. Ya te he entendido. Es dificil sin el dibujo. Te referias a poner los 4 puntos al azar en la circunferencia, no en el circulo. En ese caso, da 1/3, y considerando el desarrollo que yo hice como «puntos en la circunferencia» tambien da lo mismo. De todas formas, a mi siempre ma han dado «yuyu» estos problemas de probabilidades, porque el resultado suele depender de como plantees el modelo. ¿que es hacer dos cortes al azar? ¿escoger 4 puntos al azar en una circunferencia? ¿o por que no elegir 4 puntos al azar en un circulo? Y segun lo que elijas, el resultado cambia.

  23. Yo como es habitual, leo tarde el problema porque tardo días en llegar en el reader al artículo en cuestión.
    Yo lo pensé un par de minutos y la respuesta que me salió fue la de 1/3. Lo que pensé es en como definir los cortes y deduje que había que coger 4 puntos aleatorios en la circunferencia.

  24. Creo que vuestro razonamiento está incompleto. Para empezar trabajamos en tres dimensiones por lo que debemos considerar planos y no lineas, incluido el plano horizontal, ademas, el sujeto que corta la tarta tiene todo el espacio para realizar el corte, no esta limitado a una circunferencia, al menos no existe esa restriccion en la exposicion.
    En ese caso, tenemos varias posibilidades: que los planos sean paralelos, que sean coincidentes o que se corten formando una linea. En el caso de que se corten, que es el único que nos interesa, debemos considerar donde esta la linea de corte, y otra vez tenemos varias posibilidades: que se corten fuera del espacio de la tarta, que se corte en una linea tangente a la tarta y finalmente, que se corte formando una linea que atraviese la puñetera tarta. así que tenemos dos elementos a considerar: la situación respectiva de los planos y la situacion respecto a la tarta de la linea que forman los mismos si es que la forman. Teniendo esto en cuenta, la probabilidad de que salgan cuatro trozos a partir de una tarta, es ínfima.

    es cierto de que la probabilidad de que dos planos al azar se corten es muy próxima a 1 pero no lo es. Sin embargo, que la linea generada atraviese un espacio concreto es practicamente 0.

  25. y ¿no puede ser que el segundo corte coincida con el primero?, en cuyo caso la probabilidad seria de 2/5. suponiendo que hay un primer corte que parta la tarta en 2, el 2º corte puede estar :

    – en el pedazo izquierdo
    – en el pedazo derecho
    – cruzando del derecho al izquierdo
    – viceversa
    – y coincidiendo con el primer corte

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