Acertijo. Mensajeros en el campo

Un granjero envia un mensaje mediante su hijo a un agricultor vecino a su caso.Al mismo tiempo ese agricultor envia un mensaje mediante su hijo al granjero.

Uno va mas rapido que el otro y se cruzan a 720 metros de distancia de la casa del agricultor. Siguen su camino y descansan ambos 10 minutos tras llegar a su destino , entonces emprenden el viaje de vuelta ; ahora se cruzan a 400 metros de distancia de la casa del agricultor.

Suponemos que ambos chicos andan a velocidades constantes todo el camino , tanto ida como vuelta.

¿Que distancia separa la granja de la casa del agricultor?

Es un problema estrictanmente matematico , no hay dobles interpretaciones 😉

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8 comentarios en «Acertijo. Mensajeros en el campo»

  1. muy facil, febrero entre mil.

    es broma

    Spoiler

    Creo que la intuicion en este caso no falla. 720+400=1120.

    Me apetece explicarlo de una manera sencilla, aunque me voy a extender de más:

    Partamos de que cuando se cruzan, ambos están en el mismo punto (parece obvio pero a veces se pasa por alto).
    y que tardan M minutos en cruzarse

    Para la Ida.
    El hijo del agricultor recorre 720, en M minutos.
    El hijo del granjero recorre (llamemos T a la distancia total) T-720

    Para la vuelta.
    El hijo del granjero (que va de vuelta) recorre 400 en M minutos.
    El hijo del agricultor (que va de vuelta) recorre T-400.

    Recordemos que ambos mantienen velocidad constante, tardan lo mismo en encontrarse, con la primera linea de cada trayecto

    El hijo del agricultor recorre 720,en M minutos desde su origen y el hijo del granjero recorre 400 en M minutos desde su origen. Como estan en el mismo sitio, entre los dos han recorrido exactamente el trayecto entero, por lo que la distancia es de 720+400=1120.

    Saludos

  2. Coincido con Raider, pero lo calculé de otra manera:

    Spoiler
    Entre los 2 encuentros, el hijo del granjero recorre 1120 metros (720 a la ida + 400 a la vuelta). En ese mismo tiempo, el hijo del agricultor recorre 320 + 2x metros (x es la diferencia entre la distancia total y 720 metros, que la recorre 2 veces: 1 a la ida y otra a la vuelta; y 320 metros es la diferencia entre 720 y 400). Como los 2 recorren la misma distancia, hay que igualar 320 +2x = 1120. Entonces x=400. Distancia = 1120 metros.

  3. Haciendo uso de las matemáticas he llegado a la siguiente solución:

    Spoiler
    Distancia entre las dos casas es de 1280 metros.

    Llamamos A a la casa del Granjero.
    Llamamos B a la casa del Agricultor.

    La primera observación que he hecho es el hijo que va más rápido es el del agricultor. Por tanto el punto donde se encuentran los dos chicos está más cerca de la casa del Granjero:

    A ———————–><—————————————————B
    x m 720 m

    Podemos obtener las velocidades (en función de t) de los respectivos hijos teniendo en cuenta la fórmula de la Velocidad v=e/t

    (Velocidad de hijo A) VA= x/t
    (Velocidad de hijo B) VB= 720/t

    Donde t es el tiempo que transcurre hasta que se encuentran.

    Podemos tener en cuenta otras formulas para la velocidad de cada uno de los chicos:
    Al chico B le falta por recorrer hasta llegar a la casaA x metros, no sabemos el tiempo que tarda, pongamos tb1. Entonces VB = x/tb1 Después parará 10 minutos, y luego tendrá que recorrer x + 320 metros hasta juntarse con el otro chico. Pasarán un tiempo que llamaremos tb2, así la velocidad para este tramo viene dada por la fórmula: VB = (x+ 320)/tb2.
    Resumiendo e igualando ya que la velocidad es la misma tenemos:

    VB = 720/t = x/tb1 = (x+ 320)/tb2

    Para el chico A, razonando de forma similar obtenemos:

    VA = x/t = 720/ta1 = 400/ta2

    No conocemos ninguno de los tiempos, pero está claro que el tiempo que tardan en recorrer todo el camino hasta juntarse por segunda vez los chicos debe ser el mismo, por tanto:

    t + tb1 + 10 minutos + tb2 = t + ta1 + 10 minutos + ta2

    y de aquí se deduce que: tb1 + tb2 = ta1 + ta2, dato importante que ahora utilizaremos. A ese tiempo lo llamemos T

    Volviendo a las velocidades, tenemos tres fracciones equivalentes para cada una de las velocidades:

    VB = 720/t = x/tb1 = (x+ 320)/tb2
    VA = x/t = 720/ta1 = 400/ta2

    Utilizando las propiedades de las fracciones equivalentes podemos decir que:
    VB = 720/t = (x + (x+ 320))/(tb1 + tb2)
    VA = x/t = (720 + 400)/ (ta1 + ta2)

    Que es lo mismo que poner:
    VB = 720/t = (x + (x+ 320))/T
    VA = x/t = (720 + 400)/ T

    Ahora despejamos T/t para las dos velocidades:

    T/t = (x + (x+ 320)) / 720
    T/t =(720 + 400) / x

    Igualando llegamos a la ecuación de segundo grado: 2x^2 + 320x – 806400 = 0
    Resolvemos y nos sale la solución x = 560 metros (sale otra solución pero al ser negativa la descartamos)

    Definitivamente, si x = 560, lo sumamos a los 720 y nos sale: 1280 metros.

  4. Las matematicas nos lo dicen. Coincido con Lucia, aunque por otro camino

    Spoiler
    Defino lo siguientes valores:

    D = distancia entre las granjas. Incognita a resolver.
    V1 = velocidad del hijo del primer granjero. Constante
    V2 = velocidad del hijo del segundo granjero. Constante
    TA = tiempo hasta el primer encuentro ( a 720 m de la granja 1)
    T1 = tiempo del hijo 1 en recorrer D, desde granja 1 a granja 2
    T2 = tiempo del hijo 2 en recorrer D, desde granja 2 a granja 1
    TB1 = tiempo del hijo 1, despues de T1, en recorrer D-400, viaje de vuelta desde granja 2
    TB2 = tiempo del hijo 2, despues de T2, en recorrer 400, viaje de vuelta desde granja 1

    tenemos las siguientes relaciones:

    V1 x TA = 720
    V2 x TA = D – 720
    T1 = D / V1
    T2 = D / V2
    V1 x TB1 = D – 400
    V2 x TB2 = 400
    T1 + 10 + TB1 = T2 + 10 + TB2

    Sustituyendo adecuadamente, en la ultima relacion, llego a:

    (D x TA / 700) + (D-400) x TA / 700 = (D x TA) / ( D – 700) + (400 x TA)/(D – 700)

    Simplificando, eliminando TA, y quitando denominadores, llegamos a:

    2DD – 2560D = 0,

    cuyas soluciones son, obviamente D=0 ( desechada) y D = 2560/2 = 1280 metros

  5. Perdon, correccion en las ecuaciones, que se metio el duende:

    spoiler]
    (D x TA / 720) + (D-400) x TA / 720 = (D x TA) / ( D – 720) + (400 x TA)/(D – 720),
    [/spoiler]

  6. que rallada…!!!

    Spoiler
    1120 metros

    T es el mismo para las dos ocasiones en las que se encuentran.

    la situación simplemente se repite pero en sentido contrario.. el mismo texto te dice a que distancia se encuentran en las dos ocasiones por tanto te dice cuanta distancia recorre cada uno en el tiempo

    Sumandolas te da la distancia total

  7. En una primera lectura, reconozco que lo entendí de la misma forma que Raider y otros, obteniendo rápidamente la misma solución.
    Pero aún así advertí que había algo en el enunciado que podía dejar abierta alguna posibilidad de que esa solución no fuese válida siempre…

    Me sigo explicando de forma oculta y concreto cual creo que es la solución.

    Spoiler
    El dato de los 10 minutos quedaba ahí… Y pensé: si el mensajero rápido llega antes y espera 10 minutos podría ser posible que en ese tiempo no hubiese llegado el lento todavía, con lo que no saldrían en el mismo instante de los extremos y la solución no sería válida.
    Si uno recorre 720 en el tiempo que otro recorre 400, la velocidad de uno sería 1.8 veces la velocidad del otro. Entonces, cuando el rápido llegase (recorrió 400). El otro sólo ha recorrido 400/1.8 = 222.22 Entonces al lento le quedan casi 500 metros que debe recorrer antes de 10 minutos, luego su velocidad debe ser mayor unos 3 km/h (500m*6 / 10 min * 6)
    Si la velocidad del lento fuese menor de 3 km/h el cálculo como suma no sería válido y la distancia total podría tener infinitas soluciones teóricamente válidas.

    Iba a poner un comentario con este detalle, pero antes me di cuenta de que en el caso de ser unos 3 km/h el rápido esperaba 10 minutos y el otro no esperaba nada … y releí el enunciado viendo claramente que dice que AMBOS esperan 10 minutos… y no dice en ningún momento que ambos salgan simultáneamente en la vuelta.

    Luego vi que las otras soluciones diferentes a 1120 m se atañen al enunciado, es decir, estableciendo que ambos esperan 10 minutos, y no me puse a plantear las ecuaciones pero me pareció que estaban bien planteados y el hecho de que coincidan los resultados parece indicar que son correctas.

    Así que estuve a punto de apostar por 1280 m sin ponerme a calcularlo.
    Pero hice una verificación que no me salió bien y al final lo calculé (me había calculado en mi verificación inicial).

    Tiempo Total Lento = Tiempo Total Rápido

    D/VL + 10 min + 400 / VL = D/VR + 10 min + (D-400) / VR

    Simplifico los 10 minutos.

    D/VL + 400 / VL = (2*D-400) / VR

    Ahora me libro de VL/VR poniéndolo en función de D:

    VL/VR = (D – 720) / 720 = D/720 – 1

    Y multiplico la ecuación por VL
    D + 400 = (2*D-400) * VL / VR

    D + 400 = (2*D-400) * (D/720 -1)

    Multiplico por 360 y expando:

    360 *D + 360 * 400 = D^2 – 200*D – 720 *D + 400*360

    D^2 – 1280*D = 0

    D = 1280 m

    (que se obtiene sumando 720 + 400/2 + 720/2)
    (me pregunto si puede tener algún significado esa suma pero no acabo de verlo … )
    ___________

    Por último, compruebo: x= 1280 – 720 = 560

    VR/VL = 720/560 = 1.285714

    D + 400 = (2*D-400) * VL/VR
    1680 = 2160 * VL/VR

    VR/VL = 2160 / 1680 = 1.285714

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