Acertijo. Mensajeros en el campo

1440 m.

Llamamos A a la casa del Granjero.
Llamamos B a la casa del Agricultor.

La primera observación que he hecho es el hijo que va más rápido es el del agricultor. Por tanto el punto donde se encuentran los dos chicos está más cerca de la casa del Granjero:

A ———————–><—————————————————B
x m 720 m

Podemos obtener las velocidades (en función de t) de los respectivos hijos teniendo en cuenta la fórmula de la Velocidad v=e/t

(Velocidad de hijo A) VA= x/t
(Velocidad de hijo B) VB= 720/t

Donde t es el tiempo que transcurre hasta que se encuentran.

Podemos tener en cuenta otras formulas para la velocidad de cada uno de los chicos:
Al chico B le falta por recorrer hasta llegar a la casaA x metros, no sabemos el tiempo que tarda, pongamos tb1. Entonces VB = x/tb1 Después parará 10 minutos, y luego tendrá que recorrer x + 320 metros hasta juntarse con el otro chico. Pasarán un tiempo que llamaremos tb2, así la velocidad para este tramo viene dada por la fórmula: VB = (x+ 320)/tb2.
Resumiendo e igualando ya que la velocidad es la misma tenemos:

VB = 720/t = x/tb1 = (x+ 320)/tb2

Para el chico A, razonando de forma similar obtenemos:

VA = x/t = 720/ta1 = 400/ta2

No conocemos ninguno de los tiempos, pero está claro que el tiempo que tardan en recorrer todo el camino hasta juntarse por segunda vez los chicos debe ser el mismo, por tanto:

t + tb1 + 10 minutos + tb2 = t + ta1 + 10 minutos + ta2

y de aquí se deduce que: tb1 + tb2 = ta1 + ta2, dato importante que ahora utilizaremos. A ese tiempo lo llamemos T

Volviendo a las velocidades, tenemos tres fracciones equivalentes para cada una de las velocidades:

VB = 720/t = x/tb1 = (x+ 320)/tb2
VA = x/t = 720/ta1 = 400/ta2

Utilizando las propiedades de las fracciones equivalentes podemos decir que:
VB = 720/t = (x + (x+ 320))/(tb1 + tb2)
VA = x/t = (720 + 400)/ (ta1 + ta2)

Que es lo mismo que poner:
VB = 720/t = (x + (x+ 320))/T
VA = x/t = (720 + 400)/ T

Ahora despejamos T/t para las dos velocidades:

T/t = (x + (x+ 320)) / 720
T/t =(720 + 400) / x

Igualando llegamos a la ecuación de segundo grado: 2x^2 + 320x – 806400 = 0
Resolvemos y nos sale la solución x = 560 metros (sale otra solución pero al ser negativa la descartamos)

Definitivamente, si x = 560, lo sumamos a los 720 y nos sale: 1280 metros.

El dato de los 10 minutos quedaba ahí… Y pensé: si el mensajero rápido llega antes y espera 10 minutos podría ser posible que en ese tiempo no hubiese llegado el lento todavía, con lo que no saldrían en el mismo instante de los extremos y la solución no sería válida.
Si uno recorre 720 en el tiempo que otro recorre 400, la velocidad de uno sería 1.8 veces la velocidad del otro. Entonces, cuando el rápido llegase (recorrió 400). El otro sólo ha recorrido 400/1.8 = 222.22 Entonces al lento le quedan casi 500 metros que debe recorrer antes de 10 minutos, luego su velocidad debe ser mayor unos 3 km/h (500m*6 / 10 min * 6)
Si la velocidad del lento fuese menor de 3 km/h el cálculo como suma no sería válido y la distancia total podría tener infinitas soluciones teóricamente válidas.

Iba a poner un comentario con este detalle, pero antes me di cuenta de que en el caso de ser unos 3 km/h el rápido esperaba 10 minutos y el otro no esperaba nada … y releí el enunciado viendo claramente que dice que AMBOS esperan 10 minutos… y no dice en ningún momento que ambos salgan simultáneamente en la vuelta.

Luego vi que las otras soluciones diferentes a 1120 m se atañen al enunciado, es decir, estableciendo que ambos esperan 10 minutos, y no me puse a plantear las ecuaciones pero me pareció que estaban bien planteados y el hecho de que coincidan los resultados parece indicar que son correctas.

Así que estuve a punto de apostar por 1280 m sin ponerme a calcularlo.
Pero hice una verificación que no me salió bien y al final lo calculé (me había calculado en mi verificación inicial).

Tiempo Total Lento = Tiempo Total Rápido

D/VL + 10 min + 400 / VL = D/VR + 10 min + (D-400) / VR

Simplifico los 10 minutos.

D/VL + 400 / VL = (2*D-400) / VR

Ahora me libro de VL/VR poniéndolo en función de D:

VL/VR = (D – 720) / 720 = D/720 – 1

Y multiplico la ecuación por VL
D + 400 = (2*D-400) * VL / VR

D + 400 = (2*D-400) * (D/720 -1)

Multiplico por 360 y expando:

360 *D + 360 * 400 = D^2 – 200*D – 720 *D + 400*360

D^2 – 1280*D = 0

D = 1280 m

(que se obtiene sumando 720 + 400/2 + 720/2)
(me pregunto si puede tener algún significado esa suma pero no acabo de verlo … )
___________

Por último, compruebo: x= 1280 – 720 = 560

VR/VL = 720/560 = 1.285714

D + 400 = (2*D-400) * VL/VR
1680 = 2160 * VL/VR

VR/VL = 2160 / 1680 = 1.285714