Acertijo. Recorido interminable

 

La mariquita de la imagen de arriba , recorre 1 cm por minuto sobre la banda elástica. Su problema es que al mismo tiempo la goma se va estirando por el peso de la bola  y crece 1 metro cada minuto.

 

Suponemos la goma de sufciente calidad y elasticidad para seguir este proceso indefinidamente en el tiempo. ( y la mariquita suficintemente longeva y obstinada)

¿Alcanzará  la mariquita el soporte superior alguna vez?

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19 comentarios en «Acertijo. Recorido interminable»

  1. Primera aproximación:
    [spoiler] invariablemente, aunque la mariquita camine 1 cm por minuto la banda se estirará proporcionalmente, por lo que al cabo de cada minuto se habrá estirado tanto por delante como por detrás, el punto es que al minuto 99 habrá caminado 99 cm, pero la banda se habrá estirado 99 metros, la posición correcta de la mariquita en ese tiempo es de 99 metros (de los 100 metros totales en ese metro) y al siguiente minuto habrá llegado al metro 101 por lo tanto en 100 minutos habrá llegado al otro extremo de la banda, eso creo, lo que no me cuadra es que en el último la mariquita habrá de avanzar 1 metro por minuto (aunque creo que es un efecto de velocidad multiplicada, como cuando viajamos en un tren que va a 20 km/hora y nosotros caminamos en la misma dirección en la que avanza a una velocidad de 4 km/h, nuestro cuerpo, con respecto a la tierra, viajaría a 24 km/h), en este caso la mariquita aceleraría. [/spoiler]

  2. Mi razonamiento es demasiado largo, pero bueno…

    [spoiler]
    Podemos considerar los puntos de la banda: x=0 la posición inicial de la mariquita, x=1 el otro extremo de la banda, x=0.5 el punto medio,…

    Sí que es cierto que la banda se va alargando, pero x=0.5 al alargarse la cinta seguirá siendo el punto medio de la cinta y lo mismo pasará con todos los otros puntos: seguirán representando la misma proporción de la banda que en el inicio.

    Como la mariquita siempre va hacia arriba porque no resbala, todos los puntos por los que pasa forman un intervalo del tipo [0,k) o [0,k]. No puede tratarse de [0,k] porque si llega al punto k y la dejase un minuto más, llegaría un poco más lejos. Entonces los puntos de la banda a los que llega son del tipo [0,k). Eso implica que existe un valor k (donde k puede ser un número real o bien infinito).

    Ahora bien, es k un valor real? Es decir, hay algún punto al que la mariquita se acerque indefinidamente sin llegar a rebasarlo? Si existiese, imaginemos que dejo a la mariquita llegar a una distancia de 1mm de la posición k (la cinta se va alargando y alargando, pero siempre llega en tiempo finito a 1mm de distancia de k). Que ocurre entonces durante el siguiente minuto? La mariquita avanza 1cm y el mm que le distanciaba de k como mucho puede alargarse a 2mm!! Entonces durante ese minuto la mariquita rebasa la posición k. Conclusión: no hay punto al que la mariquita no llegue. Es decir, la mariquita pasa por todos los puntos de la banda.

    Y por tanto, aunque la mariquita hubiese subido por la cinta a 1 picómetro por año, si es suficientemente obstinada y longeva, llega a la parte superior de la banda.
    [/spoiler]

  3. Qué problema tan interesante!
    Es más complejo de lo que parece a simple vista, de momento no tengo la solución, pero sí que tengo una cuestión para Juanjo:
    [spoiler]
    Cuando dices: «Como la mariquita siempre va hacia arriba porque no resbala, todos los puntos por los que pasa forman un intervalo del tipo [0,k) o [0,k]»…
    ¿Cuál es la unidad con la que estás trabajando?
    No sé si estás hablando de DISTANCIA de cuerda recorrida o de ÍNDICE de cuerda recorrida.
    Es decir: ¿»k» es una distancia, como por ejemplo 1000 centímetros? ¿ó «k» es un índice, cómo por ejemplo 0,25 veces el tamaño de la cuerda?

    A)Si te refieres a una distancia, entonces tus razonamientos son correctos, y acabas deduciendo (con razón) que k no puede ser real por lo tanto es infinito por lo tanto la mariquita alcanza cualquier punto (cualquier distancia). PERO ESTO NO IMPLICA QUE LA MARIQUITA ALCANCE EL OTRO EXTREMO DE LA CUERDA ya que éste también crece indefinidamente. Es decir, el hecho de que la distancia recorrida por la mariquita no esté limitada no quiere decir necesariamente que vaya a llegar al otro extremo de la cuerda, porque de hecho la distancia recorrida por el otro extremo de la cuerda tampoco está limitada!!

    B) Si K es un índice entonces en el cuarto párrafo estarías mezclando el tocino con la velocidad, ya que hablas de «llegar a una distancia de 1mm de la posición k», pero k no es ninguna distancia, no puedes estar a 1 mm de K pq K es un índice, no una distancia. En todo caso podrías estar a 1 mm de la posición en que se haya la mariquita cuando haya llegado al índice k, pero la propia definición que das del índice k la mariquita nunca llega a k (porque el recorrido que hace es [0,k), por lo tanto no tiene sentido.
    [/spoiler]

  4. En este mensaje profundizo un poco más en el tema pero sin llegar a ninguna conclusión firme:
    [spoiler]
    – Suponemos que la cuerda es una recta y la mariquita es un punto en esa recta.
    – Suponemos que la cuerda se estira en toda su longitud, es decir, no se estira por abajo ni por arriba sino que cada punto (o tramo) de la cuerda sufre su estiración proporcional (por ejemplo, en t=0 la cuerda mide 100cm y se estira a una velocidad de 100cm por minuto, por lo tanto cada cm de la cuerda se estirará a una velocidad de 1cm por minuto.
    – Sea t el tiempo (en min).
    (t=0 sería el instante inicial, en el que la mariquita está en el extremo inferior de la cuerda)
    – Sea C(t) la longitud de la cuerda en el instante t (en cms).
    – Sea M(t) la longitud del tramo de cuerda que ya ha sido recorrido por la mariquita en el instante t (en cms).
    – C(t) y M(t) son funciones continuas y derivables (ni la cuerda ni la mariquita avanzan a saltos).
    – C(t)=100+100t (los 100 cms iniciales más 100cms por cada minuto que pasa)
    – M(t)=???, Vamos a intentar averiguar cómo es M(t).
    – Cómo M(t) mide la longitud del tramo de cuerda ya recorrido, entonces su derivada, que llamaremos M´(t), medirá la variación de esa longitud en el tiempo, o lo que es lo mismo, la velocidad con la que crece el tramo de cuerda ya recorrido.
    – Cuál es esa velocidad en un instante cualquiera t?
    Esa velocidad tiene dos componentes, el de la propia mariquita (1cm/min) y el del estiramiento del segmento de cuerda ya recorrido (recordemos que la cuerda se estira en toda su longitud, es decir, tanto la parte que ya ha sido recorrido como la que está por recorrer)
    – Cuánto se estira el segmento de cuerda ya recorrido?
    La cuerda se estira a 100cm/min, pero parte de ese estiramiento tiene lugar por encima de la mariquita y otra parte por debajo. Cuanto más fracción de la cuerda haya recorrido la mariquita, más fracción del estiramiento de la cuerda se producirá por debajo de la mariquita.
    Sabemos que en un instante t, la fracción de cuerda recorrida por la mariquita es M(t)/L(t) (sólo hay que dividir la distancia de cuerda recorrida entre la distancia de cuerda total).
    Por lo tanto, en un instante t, el estiramiento que se produce en el tramo ya recorrido es 100[M(t)/C(t)] (el resultado de multiplicar el estiramiento total por la fracción de estiramiento que le corresponde al tramo ya recorrido).
    – Por lo tanto M´(t)=1+100[M(t)/C(t)]
    Sustituímos C(t) por su valor, y nos queda M´(t)=1+100[M(t)/(100+100t)]
    En la segunda componente el 100 está multiplicando y dividiendo, así que lo simplificamos.
    M´(t)=1+M(t)/(1+t)
    ((Las ecuaciones diferenciales nunca fueron mi fuerte. Alguien con conocimientos de E.D. para echarnos una mano?? XD))

    -Se trataría de resolver esta ecuación para ver qué forma tiene M(t), y a partir de ahí, construiríamos la función P(t)=M(t)/C(t).
    (P(t) sería la fracción de cuerda recorrida por la mariquita en el instante t.)
    Para cualquier t, tenemos que:
    1- P(t)>0
    2- P(t) es contínua y derivable
    3- P(t) es estrictamente creciente.
    – Si P(t)=1 entonces la mariquita habrá llegado arriba y el problema se acaba.
    – El límite de P(t) cuando n tiende a infinito es la clave. Llamemos k a ese límite:
    A) Si k pertenece a [0,1), entonces la mariquita nunca alcanza el extremo superior de la cuerda, existe un porcentaje de cuerda crítico, hacia el cual la mariquita se acerca pero nunca llega.
    B) Si k=1 significa que la mariquita se acerca asintóticamente al extremo superior de la cuerda pero nunca lo alcanza. Es decir, que podrá estar todo lo cerca que queramos del extremo pero sin llegar nunca a alcazarlo (algo así como la gráfica de la función (1/x) cuando x tiende a infinito, la cual se acerca cada vez más al 0, pero nunca llega).
    C) Si k pertenece a (1,+infinito) entonces existirá algún instante t (menor que infinito) en el cual la mariquita alcanza el extremo superior de la cuerda, consiguiendo así su objetivo y acabándose el problema.

    – Hasta aquí puedo leer, no me puedo mojar por ninguna de estas opciones, aunque la intuición en un primer momento me dijo que la mariquita no llegaría jamás, ahora no sabría qué decir.
    – Por otra parte es muy posible que se pueda resolver simplemente razonándolo, sin ecuaciones diferenciales de por medio. Es posible que exista alguna “idea feliz” a la cual no he llegado.
    – Saludos y perdón por semejante tochón, pero es que este tipo de problemas me vuelven loco!
    [/spoiler]

  5. El mensaje anterior contenía una errata (aparecía un L(t) cuando debería poner C(t))
    Este simple desliz dificultaba enormemente su comprensión así que a continuación vuelvo a pegar el mismo post, pero corregido.
    No os molesteis en leer el anterior y pasad directamente a este:

    [spoiler]
    – Suponemos que la cuerda es una recta y la mariquita es un punto en esa recta.
    – Suponemos que la cuerda se estira en toda su longitud, es decir, no se estira por abajo ni por arriba sino que cada punto (o tramo) de la cuerda sufre su estiración proporcional (por ejemplo, en t=0 la cuerda mide 100cm y se estira a una velocidad de 100cm por minuto, por lo tanto cada cm de la cuerda se estirará a una velocidad de 1cm por minuto.
    – Sea t el tiempo (en min).
    (t=0 sería el instante inicial, en el que la mariquita está en el extremo inferior de la cuerda)
    – Sea C(t) la longitud de la cuerda en el instante t (en cms).
    – Sea M(t) la longitud del tramo de cuerda que ya ha sido recorrido por la mariquita en el instante t (en cms).
    – C(t) y M(t) son funciones continuas y derivables (ni la cuerda ni la mariquita avanzan a saltos).
    – C(t)=100+100t (los 100 cms iniciales más 100cms por cada minuto que pasa)
    – M(t)=???, Vamos a intentar averiguar cómo es M(t).
    – Cómo M(t) mide la longitud del tramo de cuerda ya recorrido, entonces su derivada, que llamaremos M´(t), medirá la variación de esa longitud en el tiempo, o lo que es lo mismo, la velocidad con la que crece el tramo de cuerda ya recorrido.
    – Cuál es esa velocidad en un instante cualquiera t?
    Esa velocidad tiene dos componentes, el de la propia mariquita (1cm/min) y el del estiramiento del segmento de cuerda ya recorrido (recordemos que la cuerda se estira en toda su longitud, es decir, tanto la parte que ya ha sido recorrido como la que está por recorrer)
    – Cuánto se estira el segmento de cuerda ya recorrido?
    La cuerda se estira a 100cm/min, pero parte de ese estiramiento tiene lugar por encima de la mariquita y otra parte por debajo. Cuanto más fracción de la cuerda haya recorrido la mariquita, más fracción del estiramiento de la cuerda se producirá por debajo de la mariquita.
    Sabemos que en un instante t, la fracción de cuerda recorrida por la mariquita es M(t)/C(t) (sólo hay que dividir la distancia de cuerda recorrida entre la distancia de cuerda total).
    Por lo tanto, en un instante t, el estiramiento que se produce en el tramo ya recorrido es 100[M(t)/C(t)] (el resultado de multiplicar el estiramiento total por la fracción de estiramiento que le corresponde al tramo ya recorrido).
    – Por lo tanto M´(t)=1+100[M(t)/C(t)]
    Sustituímos C(t) por su valor, y nos queda M´(t)=1+100[M(t)/(100+100t)]
    En la segunda componente el 100 está multiplicando y dividiendo, así que lo simplificamos.
    M´(t)=1+M(t)/(1+t)
    ((Las ecuaciones diferenciales nunca fueron mi fuerte. Alguien con conocimientos de E.D. para echarnos una mano?? XD))

    -Se trataría de resolver esta ecuación para ver qué forma tiene M(t), y a partir de ahí, construiríamos la función P(t)=M(t)/C(t).
    (P(t) sería la fracción de cuerda recorrida por la mariquita en el instante t.)
    Para cualquier t, tenemos que:
    1- P(t)>0
    2- P(t) es contínua y derivable
    3- P(t) es estrictamente creciente.
    – Si P(t)=1 entonces la mariquita habrá llegado arriba y el problema se acaba.
    – El límite de P(t) cuando n tiende a infinito es la clave. Llamemos k a ese límite:
    A) Si k pertenece a [0,1), entonces la mariquita nunca alcanza el extremo superior de la cuerda, existe un porcentaje de cuerda crítico, hacia el cual la mariquita se acerca pero nunca llega.
    B) Si k=1 significa que la mariquita se acerca asintóticamente al extremo superior de la cuerda pero nunca lo alcanza. Es decir, que podrá estar todo lo cerca que queramos del extremo pero sin llegar nunca a alcazarlo (algo así como la gráfica de la función (1/x) cuando x tiende a infinito, la cual se acerca cada vez más al 0, pero nunca llega).
    C) Si k pertenece a (1,+infinito) entonces existirá algún instante t (menor que infinito) en el cual la mariquita alcanza el extremo superior de la cuerda, consiguiendo así su objetivo y acabándose el problema.

    – Hasta aquí puedo leer, no me puedo mojar por ninguna de estas opciones, aunque la intuición en un primer momento me dijo que la mariquita no llegaría jamás, ahora no sabría qué decir.
    – Por otra parte es muy posible que se pueda resolver simplemente razonándolo, sin ecuaciones diferenciales de por medio. Es posible que exista alguna “idea feliz” a la cual no he llegado.
    – Saludos y perdón por semejante tochón, pero es que este tipo de problemas me vuelven loco!
    [/spoiler]

  6. Hola, estoy seguro de que
    [spoiler]la mariquita llegará al final. De hecho, si no me he equivocado resolviendo un sistema de ecuaciones diferenciales, he llegado a la conclusión de que tardará exactamente e^100 – 1 minutos. ¡Muchísimo tiempo!
    A ver si alguien más se anima a calcularlo y comparamos las soluciones.[/spoiler]
    Un saludo.

  7. EncíasJoe, leyendo tu mensaje he visto que necesitas resolver la ecuación diferencial M´(t)=1+M(t)/(1+t). Es la misma que he tenido que resolver en mi método. La solución es:
    [spoiler]M(t) = Ln(t+1)*(t+1)[/spoiler]
    Me parece muy ingenioso lo de construir la función «proporción» P(t), pero no es necesario si eres capaz de encontrar un t tal que M(t) = C(t) y eso es muy fácil en este caso.

    Un saludo.

  8. Tienes razón, EnciasJoe, no me expliqué correctamente. 🙂
    [spoiler]
    Tanto x, k, 0, 1 y todos los otros puntos a los que me refiero son la proporción de la banda recorrida. Entonces las proporciones de banda recorrida que alcanza la mariquita son del tipo [0,k). Da igual que la banda se alargue, el punto medio inicial 0’5 será el punto medio de la banda siempre, y me refiero a él como 0’5 siempre; si la mariquita llega a 1, entonces es que llega a recorrer toda la banda.

    En el cuarto párrafo me refiero a esto: si la mariquita no llega a subir hasta el punto inicial k pero sí que puede llegar a cualquier proporción menor, en el momento «en que casi llegue a alcanzar el punto inicial k» (como por ejemplo que haya hecho un recorrido tal que si le añado 1mm más en ese momento tendría proporción recorrida k), con otro minuto más rebasa la proporción k.

    Me expliqué mal porque yo me refiero en todo momento a los puntos de la banda respecto a su posición inicial. Lástima que no puedo hacer un dibujo 😉
    [/spoiler]

    Hace tiempo que no trabajo con ED…
    [spoiler]
    Sea x(t) la longitud que le queda por recorrer a la mariquita.
    La longitud total de la banda para tiempo t es: t+1.
    La proporción de banda recorrida es x(t)/(t+1).
    En cada instante t:
    se acerca 0.01m
    se aleja x(t)/(t+1)
    Entonces, x'(t)= x(t)/(t+1) – 0’01, con x(0)=1. Si x(t)=0 para t>0, entonces la mariquita llega; si no, no llega.
    [/spoiler]

  9. Gracias Miguel!
    [spoiler]
    Tu respuesta era justo lo que estaba buscando, además ha sido muy rápida.
    Ando muy flojo de ecuaciones diferenciales, pero ya me suponía que los logaritmos tenían que andar por el medio… por la forma de la ecuación más que nada.
    Además con el resultado (que tú calculaste) de M(t)=Ln(t+1)(t+1) resulta muy fácil encontrar el instante t que estamos buscando, con lo cual todo lo que he escrito al final ya sobra.
    Cómo suele pasar en este tipo de problemas, «misteriosamente» el (t+1) que multiplica un lado de la ecuación también multiplica al otro y todo sale mucho más fácil.
    A mí también me dá e^100-1 minutos. Vamos, que tarda lo suyo pero llegar, llega.
    Por cierto:
    Es muy díficil resolver esa ecuación diferencial? A simple vista no lo parece, pero yo de EDs poco… muy poco.
    [/spoiler]

  10. Es verdad Christian, seguro que volando tarda unos cuantos billones de años menos.
    EncíasJoe, esa ecuación diferencial debe de ser muy facilita, supongo que sabrás que la mayoría de ellas no tienen solución explícita. Sin embargo a mí me costó un poco resolverla porque también estaba algo oxidado, tuve que ir recordando poco a poco cómo seguir.
    Te dejo una explicación en pdf de cómo la he hecho:

    https://dl.dropbox.com/u/63212021/ecuacion.pdf

    Lo he explicado lo mejor que he podido, si hay algo que no se entiende o con lo que no estás de acuerdo dímelo.

    Un saludo.

  11. Pues vaya, ya no me acordaba del truquillo ese de sustituir f´(x) por df/dx… Si es mogollón de intuitivo! Cómo estoy de la memoria…
    Pero bueno, entre lo poco que recuerdo y lo bien que lo has explicado ya me voy haciendo una idea.
    Muchas gracias Miguel!

  12. Por si alguien quiere seguir rayándose con el problema tengo otra cuestión:
    [spoiler] Al principio la mariquita se mueve mucho más despacio de lo que se estira la parte de cuerda que tiene por encima, de forma que la distancia que va desde la mariquita hasta el extremo superior de la cuerda va en aumento, es decir, que el insecto cada vez está más lejos de su objetivo, pudiendo llegar a crear la sensación de que nunca va a llegar. Sin embargo ya sabemos que sí que llega, eso quiere decir que en algún instante la distancia que separa la mariquita del extremo superior de la cuerda pasa de crecer a decrecer. Mi pregunta es: Cuál es ese instante? En qué momento la mariquita pasa de “alejarse de su objetivo” a “acercarse a su objetivo”?
    En el siguiente post viene la solución. [/spoiler]

  13. Solución:
    [spoiler] Solución rápida:
    Cuando la mariquita haya recorrido exactamente el 99% de la cuerda, tendrá ante sí nada más que el 1%, por lo tanto la velocidad con la que se estira el trozo que le falta por recorrer será el 1% de 100cm/min, es decir, 1cm/min, la misma velocidad que la mariquita. Por lo tanto la mariquita seguirá alejándose de su objetivo hasta que recorra el 99% de la cuerda y a partir de ahí empezará a acercarse.
    Solución no tan rápida:
    La velocidad de la mariquita es: M´(t)=1+Ln(t+1)
    La velocidad del extremo superior de la cuerda es: C´(t)=100
    Igualamos estas dos ecuaciones: 1+Ln(t+1)=100
    Ln(t+1)=99
    (t+1)=e^99
    t=e^99-1
    Hasta el instante t=e^99-1 seguirá alejándose de su objetivo y a partir de ahí empezará a acercarse.
    Esto quiere decir que no sólo es que tarde billones de años en llegar, sino que también tarda billones de años en empezar a acercarse!
    También llama la atención el hecho de que tarda menos tiempo en recorrer el primer 99% de la cuerda que en recorrer el 1% final. Ésto se debe a que cuando tiene que recorrer el 1% final ese 1% es muy pero que muy grande.
    [/spoiler]

  14. Muy interesante la nueva cuestión, EncíasJoe. Engaña a los sentidos hablar con porcentajes. Me parece mucho más elegante la «solución rápida», pero no está de más que las fórmulas confirmen el resultado.
    ¿Alguien se anima a sacarle más jugo a este problema?

  15. A ver qué te parece ésta, Miguel:

    Qué porcentaje del estiramiento de la cuerda tiene lugar por debajo de la mariquita?
    (no me refiero a ningún instante concreto, sino a todo el estiramiento que se produce desde que empieza a subir hasta que llega)

    Solución:
    [spoiler]
    Recordemos que la mariquita llega arriba en el instante t=e^100-1
    Por lo tanto:
    Distancia recorrida por la mariquita (solamente contando el movimiento propio de la mariquita, sin contar lo que se estira la cuerda por debajo de ella):
    e^100-1 (la mariquita va a 1cm/min)
    Longitud de la cuerda en el instante en que la mariquita llega arriba:
    C(e^100-1)=100+100(e^100-1)
    Si a la longitud total de la cuerda cuando la mariquita llega arriba le restamos la longitud de cuerda que ha recorrido la mariquita lo que nos queda es la longitud de cuerda que no ha recorrido la mariquita, es decir, la longitud de cuerda resultante del estiramiento que se ha producido por debajo de la mariquita. Ésta es:
    100+100(e^100-1)-(e^100-1)
    Ahora sólo nos falta calcular el estiramiento total de la cuerda, que es:
    100(e^100-1) (100 cm/min multiplicado por e^100-1 min)
    Por lo tanto el porcentaje de estiramiento de la cuerda que tiene lugar por debajo de la mariquita es:
    [estiramiento que tiene lugar por debajo]/[estiramiento total]=
    =[100+100(e^100-1)-(e^100-1)]/[100(e^100-1)]=
    =1/(e^100-1)+1-1/100
    Cómo 1/(e^100-1) es practicamente 0, podemos despreciarlo y el resultado será aproximadamente:
    1-1/100=0.99
    Es decir, el porcentaje de estiramiento que tiene lugar por debajo de la mariquita es del 99% (muy aproximadamente).
    [/spoiler]

  16. La mariquita sólo cuenta con su baja velocidad y con que parte el estiramiento también se está produciendo detrás de ella. Como la velocidad es tan baja parece que debe abusar de su segundo recurso y eso explica la solución que has obtenido, EncíasJoe.

    ¿Qué pasa si añadimos una segunda mariquita? Coloquémosla en el extremo opuesto al comienzo del experimento. También con velocidad 1cm/min y que vaya al encuentro de la primera.
    Ahora que ya sabemos que se cruzarán… ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse?

  17. Creo que: [spoiler]
    El problema es simétrico, es decir, avanza igual la mariquita original hacia arriba que la otra hacia abajo. Por lo tanto se cruzarán en el punto central (cuando ambas hayan recorrido el 50% de la cuerda).
    Esto tiene lugar cuando M(t)=C(t)/2, es decir:
    Ln(t+1)(t+1)=(100+100t)/2
    Ln(t+1)(t+1)=100(t+1)/2
    Ln(t+1)=50
    t+1=e^50
    t=e^50-1
    Tardarán e^50-1 minutos en cruzarse.

    Esta pregunta puede inducir a error… a creer que si una mariquita lo recorre en e^100-1 minutos entonces entre dos mariquitas lo recorrerán en la mitad de tiempo, es decir, en (e^100-1)/2 minutos. Esto sería así si la velocidad de las mariquitas fuese constante, pero no lo es. De hecho tardan muchísimo menos en hacer la primera parte del recorrido que en hacer la segunda, por eso se encuentran mucho antes de que transcurran los (e^100-1)/2 minutos «esperados».
    [/spoiler]

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