Para aquellos que como yo no lo vean, que separe el cubo en 8 cubos con el lado la mitad, y trace las diagonales de una externa de un Minicubo (pero aquellas que NO pasen por el centro de la cara del cubo mayor) y siga la linea haciendo diagonales.

Un dibujillo en ASCII
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Esto lo aprendí en primero de la universidad.
Seguramente en Dibujo Técnico (o quizá también en Química, al estudiar estructuras de cristales).

SOLUCIÓN:
Los vértices del hexágono regular se forman uniendo los puntos medios de 6 aristas. !
Aunque esta forma de describir la solución es diferente de la de Balbo, curiosamente la solución es la misma !!

La explicación es que el plano perpendicular a la diagonal en su punto medio corta los puntos medios de las 6 aristas (aquellas aristas que no tocan ninguno de los dos vértices de la diagonal).
Cada lado del hexágono está en una de las 6 caras del hexaedro y dichos lados se ve fácilmente que son de igual longitud.

Corte perpendicular a la diagonal interior del cubo justo en su punto medio