Este acertijo me lo propuso un amigo de la facultad y me dijo que para sacarlo tendría que «ver el truco».
Imaginemos que tenemos un alfabeto muy simple, que sólo consta de 3 letras: I , V , X.
La letra I la podemos escribir con 1 palillo, pero para escribir tanto la V como la X necesitamos 2 palillos.
Si nos fijamos, si tenemos por ejemplo 2 palillos, ¿Cuántas palabras podemos formar utilizando todos?
Muy fácil, sólo 3 palabras: II , X , V.
¿Y si tenemos 3 palillos?
Es más difícil, pero se pueden conseguir 5 palabras: III , IX , IV , XI , VI.
Con cuatro palillos y un poco de paciencia vemos que se pueden obtener 11 palabras.
Pues bien, aquí va mi pregunta:
¿Cuántas palabras se pueden conseguir usando exactamente 8 palillos?
La pregunta la hago con el 8 porque empieza a ser un número un tanto alto para contarlas de una en una, pero ¡ánimo al que se atreva!
Lo ideal sería conseguir una fórmula general y para eso hace falta «ver el truco» como advirtió mi colega.
[spoiler]me parece que son 239… estoy bien?[/spoiler]
271
[spoiler] Con 5 palillos se forman 3 palabras terminadas en I y 2 terminadas en X o V. En total 5 palabras.
Para formar las palabras de 6 palillos, puedo añadir una I a cada una de las palabras que se podían formar con 5 palillos. Además, puedo añadir un palillo a las de cinco palillos que terminan en I para formar una palabra terminada en X o V (3+3 palabras nuevas).
Por tanto, las palabras que se pueden formar con n palillos son las que se pueden formar con n-1 palillos más dos veces las que se pueden formar con n-2.
Con 1 palillo, 1. Con 2, 3. Con 3, 5. Con 4, 11, Con 5, 21. Con 6, 43. Con 7, 85. Y con 8, 171.[/spoiler]
Acertijo del chico que se ve como si estuviera copiando, en realidad esta revisando si lo que hizo ella esta bien.
Si el patrón continúa:
[spoiler]La respuesta es 171, por la secuencia binaria siguiente:
Para 1 palillo, 1 = 1
Para 2 palillos, 11 = 3
Para 3 palillos, 101 = 5
Para 4 palillos, 1011 = 11
Para 5 palillos, 10101 = 21
Para 6 palillos, 101011 = 43
Para 7 palillos, 1010101 = 85
Para 8 palillos, 10101011 = 171[/spoiler]
Exacto, Gigio dio con la solución, pero el motivo de que en binario suceda eso es justo el que explicó Juanjo con su comentario.