Tenemos 12 huevos colocados en celdas etiquetadas con sus pesos.
Alguien intercambia las posiciones de dos de ellos entre sí.
Los huevos son solo distinguibles por el peso , no por ninguna otra cualidad.
Para poder determinar los pesos dispones de 2 clásicos sistemas de pesada , una balanza de 2 platillos y un peso de un plato que indica el valor de la medida.
Los dos sistemas tienen la misma y suficiente precisión y exactitud para sernos útil en cada pesada.
Qué sistema elegirías para recolocar los huevos en su orden si decides que debes realizar el menor número de pesadas.
Y cuánto es ese mínimo núnero ?
Una solución en 6 pesadas:
[spoiler]
Ordeno los huevos por pesos, ya que sé que se pueden distinguir por el peso:
A>B>C>D>E>F>G>H>I>J>K>L
1) Peso los huevos A+L y compruebo si el peso es correcto. Si pesan de más, L está cambiado y también sé cual ocupa su lugar porque sé su peso. Si pesan de menos es A el que está cambiado y ya he terminado.
2) Peso los huevos B+K y hago lo mismo.
3) Peso los huevos C+J.
4) Peso los huevos D+I.
5) Peso los huevos E+H.
Si todos los pesos son correctos también lo será F+G. Los huevos intercambiados son una de las siguientes parejas: A+L, B+K, C+J, D+I, E+H y F+G.
6) Peso los huevos A+B+C+D+E+F. Van a pesar menos. La diferencia entre el peso teórico y el real será A-L, B-K, C-J, D-I, E-H o F-G, lo que me dirá cual es la pareja cambiada.
[/spoiler]
Supongo que es mejorable, seguiré pensando.
Creo que tengo una solución con 4 pesadas:
[spoiler]Ordenamos de menor a mayor el peso marcado en las etiquetas A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L.
1ª)A+B+K+L.
Si pesan más de lo marcado es A ó B. 2ª) se pesa A,si pesa más se busca la etiqueta con esa diferencia con A. Si pesa igual 3ª) se hace lo mismo con B.
Si pesan menos es K ó L. Con 2 pesadas se identifica como antes.
2ª)C+D+I+J
Si pesan más o menos, se hace como antes con dos pesadas. Si pesan igual, los dos grupos y el tercero tienen intercambiadas dos etiquetas dentro del mismo grupo.
3ª)A+B+F+G+I+J
Si pesan menos no puede ser A,B. El peso que falta se compara con F-E si coinciden están cambiadas. Si no, se compara con G-E,si coincide son estas. Si no, se compara J-C, si coincide son estas. Si la diferencia J-D es igual I-C pueden ser ambas. Con un 4ª) pesada se aclara.
Si pesan más no puede ser I,J. El peso que sobra se compara con H-F si coinciden están cambiadas. Si no, se compara con H-G,si coincide son estas. Si no, se compara L-A, si coincide son estas. Si la diferencia L-B es igual K-A pueden ser ambas. Con un 4ª) pesada se aclara.
Si pesan igual los posibles intercambios son (A,B)(F,G)(I,J)
4ª)B+F
Si pesa menos son A,B. Si pesan más son F,G. Si pesan igual son I,J [/spoiler]
Joaquín, si intercambias E y H no puedes averiguarlo con tu sistema.
En (casi) cuatro pesadas:
[spoiler]
Considero A>B>C>D>E>F>G>H>I>J>K>L.
1.Peso A+B+C+D+E+F.
1.1 Si el peso es el teórico peso D+E+F+G+H+I.
1.1.1 Si el peso es el teórico peso A+D+I+L.
1.1.1.1 Si el peso es el teórico peso B+E+H+K.
1.1.1.1.1 Si pesan más una cambiada es H o K. Si G-HJ-K sé cual es por la diferencia de peso, que es lo que pesan más. Si G-H=J-K necesito una 5ª pesada.
1.1.1.1.2 Si pesan menos una cambiada es B o E. Si B-CE-F sé cual es por la diferencia de peso, que es lo que pesan más. Si B-C=E-F necesito una 5ª pesada.
1.1.1.2 Si pesan más una cambiada es I o L. Peso I.
1.1.1.2.1 Si el peso es el teórico peso L. Son L y la que pesa lo que marca L.
1.1.1.2.2 Si pesa más son I y la que pesa lo que marca I.
1.1.1.3 Si pesan menos una cambiada es A o D. Peso A y sigo como en 1.1.1.2.
1.1.2 Si pesan más hay una cambiada en {A,B,C}. Peso A.
1.1.2.1 Si el peso es el teórico peso B.
1.1.2.1.1 Si el peso es el teórico una cambiada es C y el peso de la otra lo sé porque su diferencia con C es lo que marcaba de más el peso de D+E+F+G+H+I.
1.1.2.1.2 Si pesa menos las cambiadas son B y la que pesa lo que marca B.
1.1.2.2 Si pesa menos las cambiadas son A y la que pesa lo que marca A.
1.1.3 Si pesan menos hay una cambiada en {J,K,L}. Peso J y sigo como en 1.1.2.
1.2 Si pesan menos peso A+B+C
1.2.1 Si el peso es el teórico hay una cambiada en {D,E,F}. Peso D y sigo como en 1.1.2.
1.2.2 Si pesan menos hay una cambiada en {A,B,C}. Peso A y sigo como en 1.1.2.
Salvo los casos 1.1.1.1.1 y 1.1.1.1.2 necesito 4 pesadas. Si en esos casos la báscula es lo bastante precisa para distinguir entre los pesos de G-H y J-K o de B-C y E-F, podré resolverlo siempre con 4, si no necesitaré una quinta pesada en esos casos.
[/spoiler]
En la solución anterior ha desaparecido es símbolo «no igual» entre G-H y J-K, en 1.1.1.1.1 y entre B-C y E-F en 1.1.1.1.2.