Bloques pintados.

Construye un «triángulo» de bloques , con la fila de arriba formada por 10 bloques , la siguiente 9 y bajando hasta la ultima fila de 1 solo bloque.

Todas las filas están centradas.

Colorea los bloques de la fila superior , cada uno de un color , usando los colores rojo , verde y azul en la disposicion que quieras ( o incluso mejor al azar , para que no haya trucos como pintar todos los bloques del mismo color).

Ve pintando las filas inferiores según las siguientes reglas:

-Si 2 bloques contiguos en una fila son del mismo color , el bloque de la fila de abajo que queda entre ellos será también del mismo color.

-Si  2 bloques contiguos en una fila son de diferente color , el bloque de la fila de abajo que queda entre ellos será del tercer color.

Quedaría algo así ( en este caso para una fila inicial de 5)Pascal

 Con un rápido vistazo a la primera fila  ,¿eres capaz de predecir (al instante) el color del bloque de la última fila sin necesidad de pintar las filas intermedias?
 PD: Para los grandes matemáticos que visitan el blog , ¿qué número de bloques (termino general) debe tener la primera fila para que funcione la regla que funciona para una primera fila de 10 bloques? ( Mmonchi , seguro que muchos esperan tu respuesta  😉   )
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3 comentarios en «Bloques pintados.»

  1. Como nadie contesta…

    Spoiler
    El sistema consiste es que si el número de bloques de la primera fila es 3^n+1, basta con mirar los bloques de las esquinas y despreciar el resto. Así, si las esquinas superiores de un triángulo de lados 3^n+1 son iguales, la de abajo también es igual y si son diferentes la de abajo es del tercer color.

    Para demostrarlo empezamos suponiendo que es verdad para n=1, es decir, para una fila superior de 4 bloques. Supongo que basta con mirar los colores del bloque (1,1) (fila primera, bloque primero) y del bloque (1,4) para saber el color del bloque (4,1). Y además esto funciona con cualquier triángulo, en el ejemplo (el de la fila inicial de 5 del dibujo) al ver que el bloque (2,1) es verde y el bloque (2,4) es azul sabemos que el (5,1) es rojo. En general funciona para cualquier triangulo formado por los bloques (x,y), (x,y+3) y (x+3,y).

    A partir del caso n=1, triángulo de 4 bloques de lado, voy a demostrar el caso n=2, triángulo de 10 bloques de lado. Tomamos cuatro bloques de la primera fila, concretamente los que tienen dos bloques intermedios: (1,1), (1,4), (1,7) y (1,10). Estos bloques nos dicen cómo son los bloques de la cuarta fila (4,1), (4,4) y (4,7) porque forman triángulos de 4 bloques de lado que ya sabemos resolver. A su vez estos nos dicen cómo son los de la séptima fila (7,1) y (7,4) y esos dos nos dicen el color del vértice inferior (10,1).

    Es decir, hemos convertido un triángulo de 10 bloques de lado en otro de 4 bloques de lado. Si en el segundo el vértice inferior dependía de los dos superiores, en el de 10 también será así. Dando un paso más podemos convertir un triángulo de 28 bloques de lado en uno de 4, tomando triángulos intermedios de 10 de lado y solucionarlo instantáneamente, y resolver del mismo modo los casos en que la fila superior tiene 82 bloques, 244, 730, etc.

    Pero todo esto se basa en una cosa: que en el caso de 4 bloques de lado el color del vértice de abajo siempre depende solo de los colores de los vértices de arriba. Para demostrarlo recurro a la fuerza bruta y resuelvo todos los casos posibles. ¿Cuántos son? Pues solo 10: los 4 bloques del mismo color (por ejemplo, RRRR); tres de un color y uno de otro (dos formas, RRRV y RRVR); dos de un color y dos de otro (tres casos, RRVV, RVRV y RVVR); y dos de un color y los otros dos diferentes (cuatro posibilidades, RRVA, RVRA, RVAR y VRRA). El resto son soluciones simétricas y variaciones de color.

    Una vez comprobado que en los diez casos se cumple (yo lo he comprobado 🙂 ) podemos afirmar que el método funcionará siempre que tengamos 3^n+1 bloques.

    Además el método nos ayuda a resolver otros casos. Por ejemplo, si lo que tenemos son 11 bloques basta con ver de qué color serán el primero y el último de la segunda fila, ya que con el de abajo forman los vértices de un triángulo de 10 bloques de lado.

Los comentarios están cerrados.