Comparando números.

rectas horizontales

 

Hace ya varios años que  escuché este problema , y es uno de los que me gustan mucho porque desafían el sentido común. ( De hecho es posible que ya lo haya puesto en el blog , pero no lo recuerdo ni lo he encontrado publicado aquí)

Hace poco , en una reunión alguien lo planteó , y para no estropearle el problema , le respondí que si yo elegía los números , no funcionaría su método.

El problema no se plantea como truco de magia-matemáticas , si no como un problema de probabilidades , con lo que no es cuestión de realizarlo una vez y acertar.

El problema es el siguiente:

Te dan 2 trozos de papel en blanco y tu anotas un numero entero  en cada trozo , sin limite inferior ni  superior  , es decir , puedes anotar tanto un – 10000 , un  3  o un 152 seguido de 200 ceros , por ejemplo. Los números de los 2 papeles deben ser distintos.

Escondes un papel en cada mano y yo elijo una de tus manos; me muestras el número escrito y entonces  digo si el de la otra mano es mayor o menor que el mostrado.

Resulta obvio que al elegir una mano antes de ver el número escrito , hay un 50% de probabilidades de que ese número sea el mayor / menor de los dos.

El ver uno de los números no nos da ninguna información sobre el que hay en la otra mano y no influye la psicología a la hora de escribir los números ni cualquier otro factor personal.

Cómo podremos entonces decidir si el número de la otra mano es mayor o menor para que la probabilidad de acertar sea superior al 50% ?

Y si nosotros somos los que escribimos los números , cómo podriamos hacer para que el método ganador anterior no funcione?

 

 

 

Sobre el autor

Jose

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19 comentarios sobre “Comparando números.”

  1. Bueno, entendiendo el problema más como algo matemático que como juego, si los números deben ser enteros positivos, siempre habrá más probabilidades de que el segundo sea mayor, dado que hay infinitos números mayores, y finitos entre el 0 y el primer número elegido.
    Y en cuanto a la cuestión de cómo hacer que las probabilidades sean las mismas… se consigue pudiendo elegir números positivos y negativos.
    (Admito que según lo he ido escribiendo me han asaltado algunas dudas, pero ahí lo dejo como posible solución…)

  2. Supongo que si se hace hincapié en lo de números positivos y negativos es probable que se elijan uno de cada tipo, aunque no deja de ser algo muy aventurado.

    Para dificultarlo yo escribiría dos números altos consecutivos.

  3. Javitus , independientemente de que sean solo positivos o tanto negativos como positivos (siendo este es el caso del problema expuesto) al elegir una de las 2 manos tienes exactamente el 50% de acertar el número mayor. El “elegir” la segunda sin ningún motivo ( segun el razonamiento de que habrá mas numeros hasta el infinito que hasta el 0) es equivalente a elegir la primera , estadisticamente es lo mismo, ya que podrías haber elegido inicialmente al revés.

    Si el enunciado plantea alguna duda , aclaro que no hay limite inferior (-infinito) ni superior (+infinito) a la hora de elegir los números.

  4. Bueno. Pues vamos con otra posible solución:
    En principio, hay que entender que existen ciertas probabilidades de que ambos números tengan el mismo número de cifras.
    Teniendo esto en cuenta, al descubrir el primer número, si la primera cifra es mayor o igual a cinco, será más probable que el otro sea más pequeño, y si comienza con uno menor de cinco, será más probable que el otro sea mayor. (Vuelvo a repetir, suponiendo que ambos números estén compuestos por el mismo número de cifras, probabilidad mínima, pero superior a 0). Esto consigue que acertemos en número superior al 50% de las ocasiones.
    Ejemplo. El primer número es un 638. Es más facil que el otro número, si fuese de tres cifras, fuese inferior. Y como puede ser de tres cifras también, tenemos ventaja.

  5. Dicho de otro modo, y por si quedasen dudas: El segundo número podrá tener más o menos cifras que el primero, con lo que estamos empatados en probabilidades. Pero si tienen el mismo número de cifras, sabemos que tendrán más probabilidades de ser mayor los números situados por encima de la media en esas cifras, así que elegiremos en función de la primera cifra del primer número.

  6. Y para acabar, y si mi razonamiento es bueno, la forma de hacer que el otro no acierte si escribimos nosotros, es escribir dos números con distinto número de cifras.

  7. Show ▼

  8. Si alguien escribe dos números al azar, tratará de que sean diferentes, aunque sea de modo inconsciente. Si los dos números tienen lamisma cantidad de cifras, uno empezará por una cifra alta y otro por una baja. Así que mi estrategia sería la siguiente:

    Si el número que veo es negativo, diría “Mayor”. Si es positivo, si empieza por 1, 2, 3 o 4 diría “Mayor” y en caso contrario diría “Menor”.

  9. Solo se me ocurre que los dos trozos de papel no sean iguales. Si uno es un poco más grande la tendencia será escribir ahí el número mayor.

  10. Si yo escribiese los números, uno de ellos sería el 0.
    Solo es intuición, ni idea de aplicar método “científico” aquí.

  11. 1.- El rango de 0 a -infinito se considera igual al de 0 a +infinito Diría menor si el primero es positivo y mayor si es negativo.
    2.- Si los escribo yo, pongo el 0 y el 1. Un 50% de las veces elige la mano del 0 y no hay diferencia de probabilidad.

  12. Si yo elijo un numero del 0 al 10 ó del 1 al 9 mejor, y digo del 1 al 5 bajo, y del 6 al 9 alto, para saber si un numero es alto o bajo.Lo multiplico por 2, del resultado hago factorial, de forma que de 2 a la 1 *3 ya seria el primer resultado alto, y diria que el otro número es inferior, puesto que las probabilidades iniciales van al 50%. En teoria lo que quiero decir y no me sale, es que para calcular si un número es alto o bajo, hay que calcular a que distancia estan de su doble y de su mitad, ejem 2*2=4 el 2 se repite una vez 8*8=16 el 2, se repite 8 veces (nº superior a 5)

  13. Puede que este sea una version modificada de un problema que conozco:

    En ese caso puedo crear una paradoja:

    Show ▼

  14. El caso general para obtener una probabilidad de aciertos superior al 50% es escoger un número cualquiera (X) que establecemos como referencia.
    Si el valor que vemos en la mano elegida es mayor ( o igual) que X , elegimos mantener esa mano , si el valor que vemos en la mano es menor que X , elegimos la otra mano.
    Curiosamente , da igual la X que elijamos para obtener >50% de éxito , aunque si la X está bien elegida , maximizamos el resultado ; en el caso de que nos digan que no hay límites superior e inferior y contando con los negativos , la X óptima será el 0 , pues hay la misma probabilidad de que se elija numeros mayores o menores por igual , pero en el caso de que nos planteen el problema sin darnos algun dato que nos imposibilite saber el valor medio ( el óptimo), ya digo que podemos elegir cualquier valor (incluido en el conjunto de valores posibles y que no sea uno de los límites).

    Tomamos como ejemplo el 10.000

    Llamamos A y B a los números ocultos en las manos; tenemos 4 posibilidades :
    1.-A y B mayores que X
    2.-A y B menores que X
    3.-A mayor y B menor ( o viveversa) que X
    4.-A o B coincide con X

    Da igual que los 4 casos no sean equiprobables , que evidentenmente no lo son.
    En el caso 1 , tendremos el 50% de acertar
    En el caso 2 , tendremos el 50% de acertar
    En el caso 4 , tendremos el 50% de acertar

    En el caso 3 , sin embargo , acertaremos el 100% de las ocasiones , por lo que en el total , estaremos por encima del 50%.

    A la segunda pregunta , como se dijo en los comentarios , para que este metodo no funcione hay que escribir 2 numeros consecutivos , ya que entonces no se da el caso 3.

  15. Veamos un análisis matemático:

    Tenemos un número A y otro B elegidos al azar y uno X escogido. Tenemos tres conjuntos de números: {-∞,A}, {A,B} y {B,+∞}. El número de términos en cada uno de los conjuntos es respectivamente ∞, B-A, ∞. Por tanto la probabilidad de que X se encuentre en el conjunto {A,B} es 0.

    Sin embargo en la realidad esa probabilidad es mayor que 0, ya que los números no pueden ser elegidos completamente al azar. De hecho la probabilidad de que A y B tengan menos de n dígitos es 0 para cualquier n siempre que A y B sean cualquier número al azar, debido a que existen infinitos números. Como la elección de A y B está sesgada, son elegidos, es posible tomar un valor de X que maximice la probabilidad de ganar. De modo que será interesante hacer un muestreo estadístico de los valores que escribe la gente, tomar el valor medio de todos ellos y elegirlo como X.

    Muy interesante.

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