Desafio a la intuicion. El poder de un modelo matematico.

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Una de las cosas que mas recuerdo de los libros de A. Paenza , es la frase “desafio a la intuicion” , y como hay situaciones que intuitivamente comprendemos con claridad y luego la matematica nos saca del error dejandonos con la “cara de tonto” ( especialmente si hemos dado por hecho que para nosotros es evidente y no necesitamos pensar sobre

ello)

Este problema , expuesto ( y demostrada su solucion) ya en 1987 es un claro ejemplo de ello.

Supongamos que tenemos dos tarjetas y en cada una se escribe de forma aleatoria un número real distinto (uno es estrictamente mayor que el otro). Se les da la vuelta y se las pone sobre la mesa. Ahora yo puedo levantar una de las

dos y mirar el número. Una vez que lo he mirado, o me quedo con esa carta o bien cojo la otra. Gano si el número que hay escrito en la tarjeta que me quedo es el más grande de los dos.

Tu intuicion te dice que hay un 50% de que gane , ¿no?

No dispongo de mas datos.

Es mas , para evitar que penseis en trucos o trampas , limitamos los numeros escritos a los enteros positivos , sin limite superior.La unica condicion es que no pueden ser iguales y elegidos al azar.

¿Existe una estrategia para aumentar la probabilidad de ganar este juego a mas de un 50% ?

Si es así , ¿cual?

NOTA: Puede que todo lo arriba dicho sea una forma de calentaros la cabeza y no hay forma de cambiar el 50% de probabilidad de victoria , o que finalmente veais que nuestra intuicion , si estuviera bien entrenada nos habria dejado ver inmediatamente la estrategia y seguir . ¿Que opinais?

Sobre el autor

Jose Acertijo Jose Acertijo

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22 comentarios en “Desafio a la intuicion. El poder de un modelo matematico.”

  1. No soy muy bueno en matemáticas, y menos en estadística, pero creo que:
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    Un saludo

  2. El razonamiento no es equivocado, es decir, si no hay límite, todo indica que hay un 100% de posibilidades de que el número de la segunda tarjeta sea mayor… sin embargo ese razonamiento falla por el simple hecho de que efectivamente uno puede haber elegido en primer lugar la tarjeta con el mayor número, y entonces la otra tarjeta es menor…

    Igualmente no tengo una respuesta concreta para el problema.
    (Y no sé cómo se hace para ocultar la respuesta como ha hecho Nano)

    Saludos

  3. Yo creo que no se puede aumentar el 50% de probabilidades con ninguna estrategia. Pero aún tengo la esperanza de que José nos sorprenda…

  4. Como dice Leonardo , el razonamiento de Nano se puede aplicar a las dos tarjetas , luego no sabriamos con cual quedarnos.
    Quizá la cuestion es que busca ( el razonamiento de Nano) la optimizacion de la estrategia y no solo superar el 50%.
    Creo que sí que se puede , baterpruf.

    Nota: Parece ser que no es posible matematicamente tener la certeza de generar una sucesion de numeros aleatorios en el con junto de los reales o los naturales. Creo que esto no condiciona excesivamente el problema ,pero si lo tenemos en cuenta , podemos suponer el limite superior como un limite muy alto (pero finito) pero desconocido por nosotros , con lo que la esencia del problema sigue siendo la misma.

  5. Yo pensé una cosa, pero que sólo era válida si hablamos de números naturales y positivos.

    Lo pongo oculto.

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  6. Jose dijo:
    “Parece ser que no es posible matematicamente tener la certeza de generar una sucesion de numeros aleatorios en el con junto de los reales o los naturales.”

    Efectivamente, esto se relaciona con algo que no me cuadraba. Yo lo pensé de otra forma: todo, repito, todo lo que conocemos (o lo que hemos modelado en física, no conceptos imaginarios de matemáticas) tiene un límite. Llevándolo a la práctica de este enunciado, el tamaño de las tarjetas es finito, pongamos menor que una persona, y eso implica un número finito de cifras del número escrito en la tarjeta (pongamos, 10^6 gramos, por Avogradro 10^23, un total de unos 10^30 átomos, un número de 10^30 cifras… pues el número máximo es 10^(10^30), una cifra impresionantemente descomunal… no tanto como un Googolplex pero similar en su construcción). Pero también la esperanza de vida de las personas es finita… Suponiendo que escribe 1 cifra por segundo, eso son 31622400 al año… y en 100 años de vida son 3 162 240 000 cifras… así que el número máximo es 10^ (3 162 240 000)
    < 10^(10^10)

    Por otro lado, una distribución verdaderamente aleatoria significa que cada número tiene la misma probabilidad, pero el conjunto de números es infinito, sería complicado repartir la probabilidad 1 entre un número infinito de candidatos. Dicho de otra forma, el total de sumar todas las probabilidades de cada número debe ser uno. Sea cual sea el valor que demos a la probabilidad de cada número, prob1, la suma de infinitos prob1 siempre dará infinito, nunca puede dar 1.

    “Creo que esto no condiciona excesivamente el problema ,pero si lo tenemos en cuenta , podemos suponer el limite superior como un limite muy alto (pero finito)”
    No estoy de acuerdo, esto condiciona “todo” el problema…

    Lo explico de forma oculta:
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  7. Tu blog está super interesante tío pero te faltan las tildes!!! No es en plan de ser pedante ni nada pero me choca al ver tanta cultura y tantos errores ortográficos juntos.
    Besitos y sorry 😉

  8. Como siempre Acid , brillante exposicion. ¿No ibas a acortar tus comentarios? , Ja ja , es broma , continua con ellos , ya forman parte de la esencia ( creo que decir esencia buena es redundante , no? ) de este blog.
    Cuando dije que el hecho de no considerar el infinito como limite y sí un numero grande , pero desconocido , no condicionaba el problema , quiero expresar que la solucion seria la misma en ambos casos , y en todo caso es igual de sorprendente.
    En tu exposicion , buscas siempre la optimizacion de victorias ( ese 75%) , y para ello , necesitas saber el limite superior ( si es conocido de antemano , estupendo , como dices , es cuestion de dividir por dos) , para lo cual aplicas un metodo valido de aproximacion ( aunque para un numero muy grande , te copio el ej. de Avogadro) supongo que necesitarias muchas jugadas para sacar un limite estadisticamente fiable , aunque como el enunciado no dice cuantas veces se puede jugar…

    Sin embargo , lo que ese pide es superar el 50% , y para ello nos sirve el infinito como limite superior ( con la limitacion comentada sobre la imposibilidad de obtener numeros estrictamente al azar) o no nos es necesario saber el limite maximo , y esto es lo mas sorprendente ( a priori , luego parece lo mas logico 🙁 ) .

    En tu comentario anterior , hacias referencia a que podria salir el 0 , y en este caso ya tendriamos mas del 50% ; esto es un error mio al plantear el problema , deberia haber elegido el conjunto de los numeros enteros , pero me parecio que entonces se veria mas facil la solucion.
    La cuestion es que ( bien en los enteros , bien solo en los positivos) la estrategia essimple y sorprendente ; se trata de elegir un numero , “el que sea” , en este caso , positivo y elegir la carta segun el metodo explicado por ti en tu comentario.
    Cuanto mas cerca este numero de la mitad del limite (en el caso de N) , mas optimizado estará , siendo este numero elegido el optimo el limite superior dividido por 2. ( Y aqui es donde el infinito no nos deja calcular esta linea separatoria optima , pero sí cualquiera que nos de mas de un 50%)

    Pongo un ejemplo extremo , consideramos el limite el numero de Avogadro ( la quimica no me abandona…) , que desconocemos cuando jugamos , y el limite inferior el 0.
    La “linea” que definira nuestra estrategia la situamos en 99,5 ( elegimos 99,5 para no tener que arrastrar el igual o mayor, es solo una comodidad, y este numero es una eleccion arbitraria que no tiene por que ser un numero entero) como vemos ,muy alejado de la linea optima.
    Entonces tenemos que hay 3 posibilidades :
    A)Las dos cartas son mayores que 99,5 ( ocurrirá la mayoria de las veces , pero no nos importa)
    B)Las dos cartas son menores de 99,5
    C)Una carta es mayor y otra menor de 99,5 ( ya que se explicitaba que no podian ser iguales)
    La suma de estas 3 probabilidades es 1 , y aqui nos da igual que el infinito sea el limite superior , solo existen estos 3 caso posibles .
    Tras ver la carta , si es > 99,5 , la elegimos , si es menor , elegimos la otra, esa es la estrategia.
    Analizamos los 3 casos posibles:
    A) como los dos numeros son > de 99,5 , tendremos un 50% de ganar . p=1/2
    B) como los dos numeros son menores , aunque cambiemos de carta , tambien tendremos un 50% . p=1/2
    C) Aqui esta la clave , si la que vemos es la mayor>99,5 la elegimos y ganamos; si es menor de 99,5 , elegimos la contraria y tambien ganamos.

    Entonces si cada una de estas situaciones se produce con una probabilidad respectiva de a, b y c ( desconocidas y diferentes , pero cuya suma es 1), y llamo Pg a la probabilidad de ganar, tenemos:

    1= a+b+c
    Pg= a/2+b/2+c
    Pg= 1/2(a+b) + c
    Pg= 1/2 (1 -c) +c
    Pg= 1/2(1+c)
    Pg= 1/2 + c/2
    y como c sera siempre positivo ( aunque muy pequeño en ocasiones , como en el ejemplo), tenemos que Pg>1/2

    Esto , y aqui lo bueno , para cualquier “linea divisoria” que cojamos.
    Si contamos los enteros negativos , con ambos limites (inferior y superior infinitos) creo que el razonamiento tambien es valido.

    Dicho todo esto , aclaro que los problemas que “meten por medio” al infinito , me rompen todos los esquemas y , dado que mis conocimientos matematicos sobre el tema son minimos , puedo haber matido la pata perfectamente; pero lo que mas me gustó del problema es que ( infinitos aparte) la intuicion nos dice primeramente que al elegir al azar , sin mas datos , no hay forma de “elegir bien” y nos tendremos que conformar con el 50%.

  9. Anónimo , tienes toda la razon; sin que sirva de excusa , sólo para difuminar la vergüenza , te diré que desde la consola de wordpress que manejo el blog , por un problema , imagino que de caracteres internacional , los caracteres acentuados tienen una apariencia diferente , entendible , pero molesta , ( si alguien me da una solución , lo agradezco ) por lo que suelo poner sólo los estrictamente necesarios para diferenciar significados.
    Te pongo un “copiar y pegar” de lo que digo para que veas el ejemplo:”entrada #599 “Muchos huesos rotos , pero muri de frio.” espera su aprobación”; como ves si se juntan varios de estos seguidos…
    Gracias por tu crítica , y desde luego no creo que sea pedantería ( ni mi razón del todo satisfactoria.. 🙁 )

  10. Te juro que pensé que ibas a poner de todo menos esto; es agradable ver que hay personas que aceptan críticas constructivas. Hasta otra y saludos

  11. Jose, creo que hay un error en tu razonamiento.

    Concretamente, cuando dices: “Pg= 1/2 + c/2 y como c sera siempre positivo”

    No tengo tan claro que siempre sea positivo.

    Si mis conocimientos de estadística no me fallan, el que una carta sea mayor que 99,5 y que la otra sea menor son sucesos independientes, así que la probabilidad se calcula multiplicando las probabilidades de cada suceso, es decir, multiplicamos la probabilidad de que una carta sea mayor que 99,5 por la probabilidad de que la otra carta sea menor de 99,5.

    Y ahora viene lo bueno. Como hemos metido en danza a nuestro amigo ‘infinito’, la probabilidad de que una carta sea menor que un número (en este caso 99,5) es 0 (hay infinitos números mayores que 99,5), así que el producto resulta 0 y no se podría superar el 50% con esta estrategia.

    Definitivamente, intuición e infinito son 2 palabras que no se llevan muy bien entre sí

    😀

  12. Desde luego que jugar con el infinito es el pasaporte al tortazo seguro…
    Es curioso como se puede plantear el siguiente caso , en una jugada vemos el primer numero , X y jugamos ( da igual el resultado). Para la siguiente jugada , elegimos como “linea divisoria” X+100 (un numero superior a x , en todo caso) ; como dices , la probabilidad de que salga un numero menor que x+100 ( de cualquier numero, ya que siempre habra infinitos numeros mayores) es 0, pero ¡Ya nos ha salido en la jugada anterior , luego NO es imposible!

    Tendremos que olvidarnos del infinito , parece. 🙂

    Esto me recuerda a la famosa demostracion de la inexistencia del numero 2.
    El numero de primos pares es finito.
    El numero de primos impares es infinito.
    Luego la probabilidad de que un numero primo sea par es 0.

  13. tambien es tortazo seguro jugar con las probabilidades y las estadisticas:

    1/3 de las muertes en carretera son provocadas por el alcohol
    Cuanto más tiempo pasas en la carretera, más probabilidades tienes de tener un accidente
    El 15% de los accidentes son provocados por conductores sin carnet
    Conclusión:
    Si conduces sin carnet (recordad que el 85% de los accidentes son de personas con carnet), borracho como una cuba (recordad tb que 2/3 de los accidentes los provoca la gente sobria) y si además conduces a 180 km/hora (una manera para pasar menos tiempo en la carretera) las posibilidades de tener un accidente serian muy bajas.

    Como podeis imaginar es solamente un ejemplo muy tonto de como se puedes malintepretar las estradisticas y probabilidades.

    Y ahora os preguntareis ¿a que viene esto? pues a nada en particular pero como acabo determinar un presupuesto que debo entregar mañana, pues asi me desatasco un poco.

    PD: Acid en date el bote me lleve 19000 eurazos y las 2 ultimas preguntas fueron:
    Titulo de la pelicula llevada al cine en 1939, basada en una novela de margaret mitchell y producida po david oselnick, y como se conocia al emperador que en 1204 se levanto en armas contra China, esta fecha creo que no es muy exacta.

    Agur me voy a la cama que mañana madrugo

  14. Si pudiera dibujar aquí un árbol con las ramificaciones de probabilidad, tal sería más claro, pero intentaré hacerlo con palabras.

    En primer lugar existen las dos tarjetas que tienen cada una un número ambos desconocidos por el jugador.

    Si a estas cartas se les ha asignado su número de manera absolutamente aleatoria, entonces tenemos tres posibilidades:

    A) Ambos números son menores que el número elegido como “separador” (llamémosle Q).
    B) Ambos números son mayores que Q.
    C) Uno es mayor y otro es menor a Q.

    El problema radica en el hecho de que esas tres situaciones, si bien es correcto que suman 1, ya que son todas las que hay y una de ellas ha de ocurrir, son muy diferentes.

    La P(A) es muy pequeña, sea cual sea el número Q elegido. Como ya se ha dicho, debería ser cero, pues siempre serán infinitos los que están por encima, pero se puede demostrar de manera simple y práctica que esa probabilidad NO ES CERO, ya que existen tarjetas menores que el número Q. Sin embargo, aunque no es cero, es un número muy cercano a cero.

    La P(B) tendría que ser 1, ya que habiendo infinitos números mayores que Q, la probabilidad de que suceda B es (tiende a) 1. Sin embargo, igual que en el caso anterior, NO ES UNO, porque en definitiva, aunque comparativamente sean pocos, siempre habrá números menores a Q, y por lo tanto puede no suceder B.

    Hasta ahora tenemos dos situaciones con probabilidades “casi cero” (A) y “casi uno” (B). Nos queda analizar la situación C, que uno sea mayor y otro menor. Pero, sabiendo que las tres suman 1, y teniendo un “casi cero” y un “casi uno”, no queda más que decir que P(C) también tiende a cero.

    Yo creo que aquí está el problema: si una carta es menor y la otra mayor que Q, entonces cualquiera que se elija será ganadora, pero esta situación es escasamente probable. La más probable es la de dos números mayores que Q, y en ese caso no cambiaremos la carta, por lo que la probabilidad de ganar sigue siendo del 50%.

    Creo.

  15. A riesgo de resultar un poco pesado, quiero puntualizar una cosa, que creo que no está muy clara.

    Si un suceso es imposible que ocurra, por ejemplo, sacar un siete al lanzar un dado, la probabilidad de ese suceso es cero.

    Pero, y aquí viene lo ‘chirriante’, si tenemos un suceso con probabilidad nula, eso no implica que el suceso sea imposible. Intentaré ser más claro con un ejemplo: Si sacamos un entero positivo al azar, la probabilidad de que sea uno en concreto, como el 8 o el 5.000 es cero, lo que no significa que el número que salga sea nuestro 8 escogido.

    Nada más. Felicidades por el blog y por hacernos pensar, que nunca viene mal.

  16. Otro Jose,
    Como ya he dicho antes, es imposible “sacar un entero al azar”. Si “al azar” significa con distribución uniforme, es decir, donde todos los números tienen la misma probabilidad de salir.
    Si “al azar” significa una distribución no uniforme, es decir, unos números tienen mayor probabilidad que otros, entonces es perfectamente posible. Y la probabilidad de ningún número es nula, aunque haya infinitos.

    Por tanto, no es cierto que existan sucesos con probabilidad nula y que no sean imposibles. Decir imposible y probabilidad nula es lo mismo.
    El fallo está en pensar que: 1. un número es posible que salga, 2. que ese número tiene la misma probilidad que todos los demás y 3. que hay infinitos. Estas tres condiciones juntas son contradictorias. Espero que quede claro ahora. Yo creo que la confusión de este problema es más de lenguaje (cuando decimos “al azar” ¿qué estamos diciendo??) y de “intuiciones” (“si puedo sacar cualquier número, todos tienen igual probabilidad” esto es rematadamente FALSO)

    Ejemplo: obtengamos un número entero positivo “al azar” usando este método:
    “es el número de veces seguidas que sale cara al tirar una moneda, antes de una cruz”
    http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_geom%C3%A9trica
    La probabilidad de n = 0 es 1/2 = 0.5 (si sale cruz, el número de caras es cero)
    La probabilidad de n = 1 es 1/4 = 0.25 (si sale cara y luego cruz, el número de caras es 1)
    ….

    El valor de n puede ser realmente cualquier entero positivo… puede resultar n = 1000
    o cualquier otro número… sólo que la probabilidad de n va decreciendo exponencialmente según aumenta n. Es totalmente FALSO decir que la probabilidad de n=1 es nula, “porque n puede tomar infinitos valores, así que la probabilidad es n/infinito = 0…” FALSO ¿lo veis?
    P([n valga 1])= 1/4 lo hemos calculado antes… no es 0 es 0.25 !!

    Ahora podeis pensar “OK, pero ¿cual es la distribución de probabilidad de los números que escribe una persona en un papel según se le ocurran?”… Pues ni idea, entra en juego la mente humana, que es muy compleja. Una cosa se segura, por la experiencia: el 7 es un número favorito de mucha gente y tiene una probabilidad muy alta (se puede ver en juegos como la Loto, cuando sale el 7, el 15, el 25, el 4… el número de acertantes es mucho mayor y el premio a cada uno menor que en otros sorteos). Y otra cosa se seguro: no es uniforme… no hay la misma probabilidad de que alguien escriba el 7 ó el 300, que escribir el 675837574939793743947394… Lo miremos por donde lo miremos este número es muy improbable. Supongamos que su probabilidad es 10^-26 … no se, lo que sea, no es nula, por mucho que haya infinitos enteros “teóricamente posibles”, pero tampoco es la misma que el 7. También, como dije, hay infinitos enteros “teóricamente posibles”, pero “realmente” es imposible que una persona escriba cifra por cifra un número mayor que 10^(10^10). Al existir una cota, ya no hay infinitos, y podemos diseñar

    Otra vuelta de tuerca: (ahondando más)
    En el caso de números reales, un ejemplo típico es la famosa campana de Gauss (distribución Normal)… (centrada en una media, y con una varianza) Al ser una distribución contínua (no de las llamadas “discreta”, como antes con los enteros, donde se daba una probabilidad para cada entero), no podemos dar una probabilidad para cada número. Lo que definimos es una “densidad de probabilidad” y podemos saber, por ejemplo, la probabilidad de que la variable modelada esté entre 3 y 4 (haciendo la integral de la densidad, entre 3 y 4… que equivale a Prob[“x menor que 4”] – Prob[“x menor que 3”] )
    Y aquí es cuando viene la duda gorda: ¿Y que ocurre con el suceso x=5??????
    Ahahá…. teóricamente la probabilidad es nula!!!!. ( integral de la densidad, entre 5 y 5… nula, o bien, Prob[“x menor que 5”] – Prob[“x menor que 5”] = 0, cero patatero )
    Mmmmm. Ya la hemos liado. jajaja
    En teoría, el suceso x=5 es posible, la variable x puede tener ese valor pero el cálculo nos dice que el suceso es imposible, porque su probabilidad es nula.
    ¿cómo salir de este DILEMA???? ???????????
    Bueno, quizá una forma de salir es decir que las densidades de probabilidad no tienen sentido para sucesos discretos. Es decir, si hablamos de un modelo contínuo, definido con una densidad, no tiene sentido preguntarse por un punto discreto (en el ejemplo, x=5). Tomemos un poco tierra, estamos ante un modelo matemático, y como dije, en la realidad las cosas están limitadas. Por tanto, aunque las densidades de probilidad es algo muy práctico, no es algo “real” o que reproduzca fielmente la realidad. Si usamos ordenadores, los reales se representan de una forma y no pueden tomar infinitos valores en un intervalo. Los ordenadores podrán representar un número muy grande de números reales, pero no es infinito… y las densidades no son densidades son distribuciones discretas. Dejando los ordenadores, los intrumentos de medida están limitados, no tiene sentido decir que x=5 sino x=5 +/- 0,01% o algo así… y al dejar un margen, la probabilidad no es nula.

  17. Sobre “desafío a la intuición” de Paenza, los problemas de los infinitos, y las suposiciones incorrectas… a la hora de analizar probabilidades, viene que ni pintado este capítulo:

    Episosodio II – Capítulo 3 : Probabilidades, estimaciones, combinaciones y contradicciones

    (nota: Si pongo este enlace es porque entiendo que Paenza, el propio autor del libro, está de acuerdo con que su libro esté publicado ahí de esa forma. )
    En el caso del desfile asumimos que los sucesos de pasar una persona y pasar otra persona son independientes… lo cual no es verdad. Es más, yo diría que si pasa una mujer es posible que después pase uno o más hombres persiguiéndola jajaja (por tanto, no es lo mismo H y luego M que pasar M y luego H, este último sería más probable) También, creo que HM y MH es más probable que HH y MM…

  18. Gracias por la referencia Acid , imagino que no hay problemas con el link, pues el libro de Paenza está disponible gratuitamente en la red.
    El comentario anterior de Kimita me recuerda aquel pasajero que siempre que montaba en avion , pretendi colar una bomba , porque la probabilidad de que dos personas sin conocerse introdujeran cada una una bomba en un avion es practicamente 0.
    (es un chiste , claro)

  19. Solamente un comentario a los primeros dos.

    Al ser numeros reales, siempre existe un numero menor a otro. (el conjunto de los numeros reales implica que no es un conjunto numerable en un intervalo dado)

    La demostracion es simple.

    En los numeros reales, elijo un numero y luego otro menor (o mayor). Los sumo y los divido por dos.

    Este nuevo numero es exactamente el que está en la mitad entre estos dos numeros. (Por ejemplo, tomo 2 y 4, los sumo y lo divido por dos, me queda 3)
    entonces, 3 es menor que 4. Y (4+3)/2 tambien es menor a 4, al igual que {[(4+3)/2] + 4}/2 es menor a 4. Se entiende?

  20. ME DUELE LA CABEZA!!!!! no puedo creer lo inteligentes q son José (el de la calavera) y acid me sorprende estoy muy enredado y eso q me llaman listo los admiro chicos (o chica si es el caso)

  21. interesante , si tuvieramos 2 tarjetas , y nos ponemos a pensar que no son numeros si no una tiene algo escrito y la otra no , y ganara la que tuviera algo escrito , tuvieramos una posibilidad del 50% de ganar , pero como habla de numeros reales diria que como ahi infinitos numeros , que si digamos eligimos una tarjeta y tiene un numero por obvia razon la posibilidad tendria que ser mas grande a que la otra tuviera un numero mayor ya que los numeros son infinitos y meno posibilidades a que sea menos ya que si se puede medir los numeros menores y no los mayores pero no estoy seguro de como pensa esto bien la verdad estoy un poco confundido al pensar que la posibilidad de ganar es menos que la de perder pero creo que seria asi , tal y como lo habian dicho antes , en lo del comentario del o por ciento a ganar

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