Al ser numeros reales, siempre existe un numero menor a otro. (el conjunto de los numeros reales implica que no es un conjunto numerable en un intervalo dado)

La demostracion es simple.

En los numeros reales, elijo un numero y luego otro menor (o mayor). Los sumo y los divido por dos.

Este nuevo numero es exactamente el que está en la mitad entre estos dos numeros. (Por ejemplo, tomo 2 y 4, los sumo y lo divido por dos, me queda 3)
entonces, 3 es menor que 4. Y (4+3)/2 tambien es menor a 4, al igual que {[(4+3)/2] + 4}/2 es menor a 4. Se entiende?

Episosodio II – Capítulo 3 : Probabilidades, estimaciones, combinaciones y contradicciones

(nota: Si pongo este enlace es porque entiendo que Paenza, el propio autor del libro, está de acuerdo con que su libro esté publicado ahí de esa forma. )
En el caso del desfile asumimos que los sucesos de pasar una persona y pasar otra persona son independientes… lo cual no es verdad. Es más, yo diría que si pasa una mujer es posible que después pase uno o más hombres persiguiéndola jajaja (por tanto, no es lo mismo H y luego M que pasar M y luego H, este último sería más probable) También, creo que HM y MH es más probable que HH y MM…

Por tanto, no es cierto que existan sucesos con probabilidad nula y que no sean imposibles. Decir imposible y probabilidad nula es lo mismo.
El fallo está en pensar que: 1. un número es posible que salga, 2. que ese número tiene la misma probilidad que todos los demás y 3. que hay infinitos. Estas tres condiciones juntas son contradictorias. Espero que quede claro ahora. Yo creo que la confusión de este problema es más de lenguaje (cuando decimos “al azar” ¿qué estamos diciendo??) y de “intuiciones” (“si puedo sacar cualquier número, todos tienen igual probabilidad” esto es rematadamente FALSO)

Ejemplo: obtengamos un número entero positivo “al azar” usando este método:
“es el número de veces seguidas que sale cara al tirar una moneda, antes de una cruz”
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_geom%C3%A9trica
La probabilidad de n = 0 es 1/2 = 0.5 (si sale cruz, el número de caras es cero)
La probabilidad de n = 1 es 1/4 = 0.25 (si sale cara y luego cruz, el número de caras es 1)
….

El valor de n puede ser realmente cualquier entero positivo… puede resultar n = 1000
o cualquier otro número… sólo que la probabilidad de n va decreciendo exponencialmente según aumenta n. Es totalmente FALSO decir que la probabilidad de n=1 es nula, “porque n puede tomar infinitos valores, así que la probabilidad es n/infinito = 0…” FALSO ¿lo veis?
P([n valga 1])= 1/4 lo hemos calculado antes… no es 0 es 0.25 !!

Ahora podeis pensar “OK, pero ¿cual es la distribución de probabilidad de los números que escribe una persona en un papel según se le ocurran?”… Pues ni idea, entra en juego la mente humana, que es muy compleja. Una cosa se segura, por la experiencia: el 7 es un número favorito de mucha gente y tiene una probabilidad muy alta (se puede ver en juegos como la Loto, cuando sale el 7, el 15, el 25, el 4… el número de acertantes es mucho mayor y el premio a cada uno menor que en otros sorteos). Y otra cosa se seguro: no es uniforme… no hay la misma probabilidad de que alguien escriba el 7 ó el 300, que escribir el 675837574939793743947394… Lo miremos por donde lo miremos este número es muy improbable. Supongamos que su probabilidad es 10^-26 … no se, lo que sea, no es nula, por mucho que haya infinitos enteros “teóricamente posibles”, pero tampoco es la misma que el 7. También, como dije, hay infinitos enteros “teóricamente posibles”, pero “realmente” es imposible que una persona escriba cifra por cifra un número mayor que 10^(10^10). Al existir una cota, ya no hay infinitos, y podemos diseñar

Otra vuelta de tuerca: (ahondando más)
En el caso de números reales, un ejemplo típico es la famosa campana de Gauss (distribución Normal)… (centrada en una media, y con una varianza) Al ser una distribución contínua (no de las llamadas “discreta”, como antes con los enteros, donde se daba una probabilidad para cada entero), no podemos dar una probabilidad para cada número. Lo que definimos es una “densidad de probabilidad” y podemos saber, por ejemplo, la probabilidad de que la variable modelada esté entre 3 y 4 (haciendo la integral de la densidad, entre 3 y 4… que equivale a Prob["x menor que 4"] – Prob["x menor que 3"] )
Y aquí es cuando viene la duda gorda: ¿Y que ocurre con el suceso x=5??????
Ahahá…. teóricamente la probabilidad es nula!!!!. ( integral de la densidad, entre 5 y 5… nula, o bien, Prob["x menor que 5"] – Prob["x menor que 5"] = 0, cero patatero )
Mmmmm. Ya la hemos liado. jajaja
En teoría, el suceso x=5 es posible, la variable x puede tener ese valor pero el cálculo nos dice que el suceso es imposible, porque su probabilidad es nula.
¿cómo salir de este DILEMA???? ???????????
Bueno, quizá una forma de salir es decir que las densidades de probabilidad no tienen sentido para sucesos discretos. Es decir, si hablamos de un modelo contínuo, definido con una densidad, no tiene sentido preguntarse por un punto discreto (en el ejemplo, x=5). Tomemos un poco tierra, estamos ante un modelo matemático, y como dije, en la realidad las cosas están limitadas. Por tanto, aunque las densidades de probilidad es algo muy práctico, no es algo “real” o que reproduzca fielmente la realidad. Si usamos ordenadores, los reales se representan de una forma y no pueden tomar infinitos valores en un intervalo. Los ordenadores podrán representar un número muy grande de números reales, pero no es infinito… y las densidades no son densidades son distribuciones discretas. Dejando los ordenadores, los intrumentos de medida están limitados, no tiene sentido decir que x=5 sino x=5 +/- 0,01% o algo así… y al dejar un margen, la probabilidad no es nula.

Si un suceso es imposible que ocurra, por ejemplo, sacar un siete al lanzar un dado, la probabilidad de ese suceso es cero.

Pero, y aquí viene lo ‘chirriante’, si tenemos un suceso con probabilidad nula, eso no implica que el suceso sea imposible. Intentaré ser más claro con un ejemplo: Si sacamos un entero positivo al azar, la probabilidad de que sea uno en concreto, como el 8 o el 5.000 es cero, lo que no significa que el número que salga sea nuestro 8 escogido.

Nada más. Felicidades por el blog y por hacernos pensar, que nunca viene mal.

En primer lugar existen las dos tarjetas que tienen cada una un número ambos desconocidos por el jugador.

Si a estas cartas se les ha asignado su número de manera absolutamente aleatoria, entonces tenemos tres posibilidades:

A) Ambos números son menores que el número elegido como “separador” (llamémosle Q).
B) Ambos números son mayores que Q.
C) Uno es mayor y otro es menor a Q.

El problema radica en el hecho de que esas tres situaciones, si bien es correcto que suman 1, ya que son todas las que hay y una de ellas ha de ocurrir, son muy diferentes.

La P(A) es muy pequeña, sea cual sea el número Q elegido. Como ya se ha dicho, debería ser cero, pues siempre serán infinitos los que están por encima, pero se puede demostrar de manera simple y práctica que esa probabilidad NO ES CERO, ya que existen tarjetas menores que el número Q. Sin embargo, aunque no es cero, es un número muy cercano a cero.

La P(B) tendría que ser 1, ya que habiendo infinitos números mayores que Q, la probabilidad de que suceda B es (tiende a) 1. Sin embargo, igual que en el caso anterior, NO ES UNO, porque en definitiva, aunque comparativamente sean pocos, siempre habrá números menores a Q, y por lo tanto puede no suceder B.

Hasta ahora tenemos dos situaciones con probabilidades “casi cero” (A) y “casi uno” (B). Nos queda analizar la situación C, que uno sea mayor y otro menor. Pero, sabiendo que las tres suman 1, y teniendo un “casi cero” y un “casi uno”, no queda más que decir que P(C) también tiende a cero.

Yo creo que aquí está el problema: si una carta es menor y la otra mayor que Q, entonces cualquiera que se elija será ganadora, pero esta situación es escasamente probable. La más probable es la de dos números mayores que Q, y en ese caso no cambiaremos la carta, por lo que la probabilidad de ganar sigue siendo del 50%.

Creo.

1/3 de las muertes en carretera son provocadas por el alcohol
Cuanto más tiempo pasas en la carretera, más probabilidades tienes de tener un accidente
El 15% de los accidentes son provocados por conductores sin carnet
Conclusión:
Si conduces sin carnet (recordad que el 85% de los accidentes son de personas con carnet), borracho como una cuba (recordad tb que 2/3 de los accidentes los provoca la gente sobria) y si además conduces a 180 km/hora (una manera para pasar menos tiempo en la carretera) las posibilidades de tener un accidente serian muy bajas.

Como podeis imaginar es solamente un ejemplo muy tonto de como se puedes malintepretar las estradisticas y probabilidades.

Y ahora os preguntareis ¿a que viene esto? pues a nada en particular pero como acabo determinar un presupuesto que debo entregar mañana, pues asi me desatasco un poco.

PD: Acid en date el bote me lleve 19000 eurazos y las 2 ultimas preguntas fueron:
Titulo de la pelicula llevada al cine en 1939, basada en una novela de margaret mitchell y producida po david oselnick, y como se conocia al emperador que en 1204 se levanto en armas contra China, esta fecha creo que no es muy exacta.

Agur me voy a la cama que mañana madrugo

Tendremos que olvidarnos del infinito , parece.

Esto me recuerda a la famosa demostracion de la inexistencia del numero 2.
El numero de primos pares es finito.
El numero de primos impares es infinito.
Luego la probabilidad de que un numero primo sea par es 0.

Concretamente, cuando dices: “Pg= 1/2 + c/2 y como c sera siempre positivo”

No tengo tan claro que siempre sea positivo.

Si mis conocimientos de estadística no me fallan, el que una carta sea mayor que 99,5 y que la otra sea menor son sucesos independientes, así que la probabilidad se calcula multiplicando las probabilidades de cada suceso, es decir, multiplicamos la probabilidad de que una carta sea mayor que 99,5 por la probabilidad de que la otra carta sea menor de 99,5.

Y ahora viene lo bueno. Como hemos metido en danza a nuestro amigo ‘infinito’, la probabilidad de que una carta sea menor que un número (en este caso 99,5) es 0 (hay infinitos números mayores que 99,5), así que el producto resulta 0 y no se podría superar el 50% con esta estrategia.

Definitivamente, intuición e infinito son 2 palabras que no se llevan muy bien entre sí

Sin embargo , lo que ese pide es superar el 50% , y para ello nos sirve el infinito como limite superior ( con la limitacion comentada sobre la imposibilidad de obtener numeros estrictamente al azar) o no nos es necesario saber el limite maximo , y esto es lo mas sorprendente ( a priori , luego parece lo mas logico ) .

En tu comentario anterior , hacias referencia a que podria salir el 0 , y en este caso ya tendriamos mas del 50% ; esto es un error mio al plantear el problema , deberia haber elegido el conjunto de los numeros enteros , pero me parecio que entonces se veria mas facil la solucion.
La cuestion es que ( bien en los enteros , bien solo en los positivos) la estrategia essimple y sorprendente ; se trata de elegir un numero , “el que sea” , en este caso , positivo y elegir la carta segun el metodo explicado por ti en tu comentario.
Cuanto mas cerca este numero de la mitad del limite (en el caso de N) , mas optimizado estará , siendo este numero elegido el optimo el limite superior dividido por 2. ( Y aqui es donde el infinito no nos deja calcular esta linea separatoria optima , pero sí cualquiera que nos de mas de un 50%)

Pongo un ejemplo extremo , consideramos el limite el numero de Avogadro ( la quimica no me abandona…) , que desconocemos cuando jugamos , y el limite inferior el 0.
La “linea” que definira nuestra estrategia la situamos en 99,5 ( elegimos 99,5 para no tener que arrastrar el igual o mayor, es solo una comodidad, y este numero es una eleccion arbitraria que no tiene por que ser un numero entero) como vemos ,muy alejado de la linea optima.
Entonces tenemos que hay 3 posibilidades :
A)Las dos cartas son mayores que 99,5 ( ocurrirá la mayoria de las veces , pero no nos importa)
B)Las dos cartas son menores de 99,5
C)Una carta es mayor y otra menor de 99,5 ( ya que se explicitaba que no podian ser iguales)
La suma de estas 3 probabilidades es 1 , y aqui nos da igual que el infinito sea el limite superior , solo existen estos 3 caso posibles .
Tras ver la carta , si es > 99,5 , la elegimos , si es menor , elegimos la otra, esa es la estrategia.
Analizamos los 3 casos posibles:
A) como los dos numeros son > de 99,5 , tendremos un 50% de ganar . p=1/2
B) como los dos numeros son menores , aunque cambiemos de carta , tambien tendremos un 50% . p=1/2
C) Aqui esta la clave , si la que vemos es la mayor>99,5 la elegimos y ganamos; si es menor de 99,5 , elegimos la contraria y tambien ganamos.

Entonces si cada una de estas situaciones se produce con una probabilidad respectiva de a, b y c ( desconocidas y diferentes , pero cuya suma es 1), y llamo Pg a la probabilidad de ganar, tenemos:

1= a+b+c
Pg= a/2+b/2+c
Pg= 1/2(a+b) + c
Pg= 1/2 (1 -c) +c
Pg= 1/2(1+c)
Pg= 1/2 + c/2
y como c sera siempre positivo ( aunque muy pequeño en ocasiones , como en el ejemplo), tenemos que Pg>1/2

Esto , y aqui lo bueno , para cualquier “linea divisoria” que cojamos.
Si contamos los enteros negativos , con ambos limites (inferior y superior infinitos) creo que el razonamiento tambien es valido.

Dicho todo esto , aclaro que los problemas que “meten por medio” al infinito , me rompen todos los esquemas y , dado que mis conocimientos matematicos sobre el tema son minimos , puedo haber matido la pata perfectamente; pero lo que mas me gustó del problema es que ( infinitos aparte) la intuicion nos dice primeramente que al elegir al azar , sin mas datos , no hay forma de “elegir bien” y nos tendremos que conformar con el 50%.

Efectivamente, esto se relaciona con algo que no me cuadraba. Yo lo pensé de otra forma: todo, repito, todo lo que conocemos (o lo que hemos modelado en física, no conceptos imaginarios de matemáticas) tiene un límite. Llevándolo a la práctica de este enunciado, el tamaño de las tarjetas es finito, pongamos menor que una persona, y eso implica un número finito de cifras del número escrito en la tarjeta (pongamos, 10^6 gramos, por Avogradro 10^23, un total de unos 10^30 átomos, un número de 10^30 cifras… pues el número máximo es 10^(10^30), una cifra impresionantemente descomunal… no tanto como un Googolplex pero similar en su construcción). Pero también la esperanza de vida de las personas es finita… Suponiendo que escribe 1 cifra por segundo, eso son 31622400 al año… y en 100 años de vida son 3 162 240 000 cifras… así que el número máximo es 10^ (3 162 240 000)
< 10^(10^10)

Por otro lado, una distribución verdaderamente aleatoria significa que cada número tiene la misma probabilidad, pero el conjunto de números es infinito, sería complicado repartir la probabilidad 1 entre un número infinito de candidatos. Dicho de otra forma, el total de sumar todas las probabilidades de cada número debe ser uno. Sea cual sea el valor que demos a la probabilidad de cada número, prob1, la suma de infinitos prob1 siempre dará infinito, nunca puede dar 1.

“Creo que esto no condiciona excesivamente el problema ,pero si lo tenemos en cuenta , podemos suponer el limite superior como un limite muy alto (pero finito)”
No estoy de acuerdo, esto condiciona “todo” el problema…

Lo explico de forma oculta:
Show ▼

Lo pongo oculto.

Show ▼

Nota: Parece ser que no es posible matematicamente tener la certeza de generar una sucesion de numeros aleatorios en el con junto de los reales o los naturales. Creo que esto no condiciona excesivamente el problema ,pero si lo tenemos en cuenta , podemos suponer el limite superior como un limite muy alto (pero finito) pero desconocido por nosotros , con lo que la esencia del problema sigue siendo la misma.