El borracho y las llaves.

Un hombre borracho llega a la puerta de su casa e intenta abrir la puerta. Hay 10 llaves en su llavero, una de las cuales abrirá la cerradura. Al estar borracho, no aborda el problema sistemáticamente; si una llave determinada no funciona, la vuelve a su posición en el llavero y luego otra vez extrae una llave entre las 10 posibilidades. Esto intenta una y otra vez hasta que consigue abrir. ¿En qué intento es más probable que abra la puerta?

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7 comentarios en «El borracho y las llaves.»

  1. Solución:

    Spoiler
    El intento con mayor probabilidad de abrir la puerta es el primero.

    Explicación:

    Spoiler
    Como cada vez que falla con una llave LA VUELVE A PONER EN EL LLAVERO entonces todos los intentos son iguales, los intentos consisten en escoger aleatoriamente una de las diez llaves, y solo una es la correcta, por lo tanto en cada intento tiene una probabilidad de 1/10 de abrir la puerta.
    Pero el primer intento se produce siempre, mientras que los otros intentos solo se producen cuando no ha encontrado la llave antes. Por lo tanto el más probable es el primero.

    La situación es la siguiente:
    Prob. de acertar con la llave a la primera: 1/10
    Prob. de acertar con la llave a la segunda: (9/10)*(1/10)
    Prob. de acertar con la llave a la tercera: (9/10)*(9/10)*(1/10)

    Prob. de acertar con la llave en el n-ésimo intento: [(9/10)^(n-1)]*(1/10)

  2. No tengo claro si es un acertijo de probabilidades…

    Spoiler
    Podría estar infinitamente probando llaves, sin abrir.
    O podría ser en el primer intento.
    Pero si analizamos un número de sucesos lo suficientemente grande, la probabilidad de acertar entre diez, es 1/10.
    O sea, si probara un millón de veces, abriría 100.000 veces.
    Bien, y dicho esto, creo que estoy de acuerdo con el primer comentario de JJ, y por supuesto también con el de Jannox, pero ese caso, en realidad no es probable, es seguro.

  3. JJ y Janox:

    Spoiler
    No habéis interpretado bien el enunciado, concretamente la parte en la que dice «si una llave determinada no funciona, la vuelve a su posición en el llavero y luego otra vez extrae una llave entre las 10 posibilidades», esto quiere decir que cada vez que comprueba que una llave no abre la puerta NO LA DESCARTA (porque está borracho), sino que la vuelve a poner en el llavero y se olvida de la información que acaba de adquirir, volviendo a empezar de cero en el siguiente intento. Es como si las llaves se «barajasen» entre intento e intento.
    Vosotros habéis entendido el problema como si el borracho descartase las llaves erróneas, con lo cual sólo necesitaría diez intentos como máximo para dar con la correcta (por eso Jannox habla de «el último intento», cuando en realidad ni siquiera tiene sentido hablar del último intento, ya que los intentos no estan limitados, incluso podrían ser infinitos).
    Podría ser el caso que hubieseis entendido el problema de otra forma y lo hubieseis solucionado de esa forma, pero tampoco ha sido el caso, ya que la solución al problema que vosotros habeis interpretado no es ni «9», ni «el último». La solución al problema que vosotros habeis interpretado es «todos los intentos son igual de probables, todos tienen una probabilidad de 1/10». (Esto es fácil de demostrar, no lo haré por no extenderme demasiado pero si teneis curiosidad por ver cómo se haría no teneis más que decírmelo).

    RojoMerlin:

    Spoiler
    Tú si has interpretado bien el problema, por lo tanto me extraña muchísimo que compartas las opiniones de JJ y Janox.

    Intentaré explicarlo mejor:

    Spoiler
    Supongamos que llegamos sin abrir la puerta al intento n, entonces la probabilidad de abrir la puerta en ese intento será de 1/10. (sea cual sea n)
    Pero eso siempre que lleguemos al intento n. A lo mejor no llegamos, por que abrimos la puerta antes, y se acaba el juego.
    Es decir, 1/10 no es la «probabilidad de abrir la puerta en el intento n», sino que 1/10 es la «probabilidad de abrir la puerta en el intento n SABIENDO QUE HEMOS LLEGADO AL INTENTO n».

    La probabilidad de abrir la puerta en el intento n es:
    (probabilidad de no abrir la puerta en ninguno de los intentos anteriores a n)*(probabilidad de sí abrir la puerta en el intento n)

    Es decir:
    Prob. de acertar con la llave en el intento 1: 1/10
    Prob. de acertar con la llave en el intento 2: (9/10)*(1/10) (la prob. de fallar en el primero multiplicada por la de acertar en el segundo sabiendo que ha fallado el primero)
    Prob. de acertar con la llave en el intento 3: (9/10)*(9/10)*(1/10) (la probabilidad de fallar en los dos primeros multiplicada por la de acertar en el tercero sabiendo que ha fallado en los dos primeros)

    Prob. de acertar con la llave en el intento n: [(9/10)^(n-1)]*(1/10) (Prob. de fallar en los n-1 anteriores multiplicada por la probabilidad de acertar en el n-ésimo sabiendo que ha fallado los n-1 anteriores)

    Vamos, que el intento con mayor probabilidad es el primero, de hecho cada intento es un poco menos probable que el anterior.

    Una forma fácil de visualizarlo mejor:

    Spoiler
    Supongamos que sólo hay dos llaves, una buena y otra mala:
    Prob. de acertar en el intento 1: 1/2
    Prob. de acertar en el intento 2: (1/2)*(1/2)
    Prob. de acertar en el intento 3: (1/2)*(1/2)*(1/2)

    Prob. de acertar en el intento n: (1/2)^n

    Ahora se aprecia mucho mejor cómo las probabilidades disminuyen en cada intento, y como curiosidad también podemos comprobar cómo la suma total de todas las probabilidades da 1, que es lo que tiene que dar.

  4. Coincido con EnciasJoe, muy curioso resultado…
    Gracias Jose por este problema tan bonito.
    Sólo me queda añadir que:

    Spoiler
    Se trata de una distribución geométrica:
    http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_geom%C3%A9trica
    El valor esperado es de 10 intentos.
    Esto significa que si hay muchísimos borrachos intentándolo, cada uno en su puerta y se calcula la media de intentos que ha necesitado cada borracho, el resultado tiende a 10 cuando el número de borrachos tiende a infinito.

    Sin embargo acertar a la primera es lo más probable como muy bien explica EnciasJoe.

    Un saludo.

  5. Es curioso, EnciasJoe, en efecto no interpreté bien el problema, pero no por las probabilidades de cada intento(que me dan lo mismo que a ti) sino porque no leí bien la pregunta. De hecho yo calculé la esperanza de la distribución (sinceramente no sé si la calculé bien, utilicé diferenciación e integración de series así a ojo).
    Tienes razón, el intento más probable es el primero, lo has explicado perfectamente. Sucede que yo calculé por término medio cuántos intentos hay que esperar. (¿Serán 9? A saber…)

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