El mono escritor

Un mono está sentado frente a una máquina de escribir que tiene solo 27 teclas, una por letra del alfabeto.

El mono escribe al azar, con una velocidad constante de una letra por segundo.

No tiene inclinación por ninguna letra: todas las letras en cualquier segundo tienen una probabilidad de 1/27 de ser escritas.

¿Cuál de los siguientes enunciados es mayor?

a) el tiempo promedio que le llevará al mono escribir “abracadabra”

b) el tiempo promedio que le llevará al mono escribir “abracadabrx”.

Algunas aclaraciones: cuando digo «el tiempo promedio…» no me refiero a cuánto tiempo se tarda en escribir la palabra ‘abracadabra’ por sí sola, que siempre son 11 segundos (o 10 segundos desde la primera letra se escribe en cero segundos y la undécima letra se escribe en el décimo segundo), me refiero al tiempo promedio que lleva llegar a un ‘abracadabra’, ya sea desde el comienzo del experimento o desde una aparición previa de ‘abracadabra’.

Otra forma de formular la pregunta sería: a largo plazo, ¿cuál de ‘abracadabra’ o ‘abracadabrx’ aparece con más frecuencia?

El que es más frecuente es el que emplea, en promedio, menos tiempo para llegar.

En segundo lugar, si el mono escribe ‘abracadabracadabra’, esto solo cuenta como un ‘abracadabra’. Asimismo, ‘abracadabrabracadabra’ es solo un ‘abracadabra’. En otras palabras, el mono debe escribir la palabra «abracadabra» por completo, y eso cuenta como una aparición, y luego el mono debe escribirla por completo nuevamente para la próxima aparición.

Por supuesto, preguntar cuánto tiempo tardará en escribir una (y otra si son distintos tiempos) de las dos palabras es ya demasiado…aunque cálculos hay.

17 comentarios en «El mono escritor»

  1. Una explicación (muy a groso modo):
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  2. Un truco para visualizarlo mejor:
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  3. Una explicación un poco más rigurosa:
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  4. Mestrillo, no entiendo tu mensaje. Por qué dices que los casos ganadores son 7? Es evidente que son 8 y 11.
    AA: AAAA, AAAB, AABA, AABB, ABAA, BAAA, BAAB, BBAA (8 casos)
    AB: AAAB, AABA, AABB, ABAA, ABAB, ABBA, ABBB, BAAB, BABA, BABB, BBAB (11 casos)

  5. En el momento que, leyendo de izquierda a derecha, aparecen AA o AB el juego se acaba. Hay 7 de cada.

  6. Son dos juegos distintos. Si estás buscando AA, el juego no se acaba cuando aparece AB, y viceversa.
    En un juego buscamos AA, y aparece 8 veces, y en otro buscamos AB, y aparece 11 veces. Era para demostrar que AB aparece más que AA, o lo que es lo mismo, el tiempo medio para que aparezca AB es menor que el tiempo medio para que aparezca AA

  7. He calculado cuánto tardan en salir por primera vez AA y AB.

    El caso AB es relativamente fácil, la suma que hay que resolver es 2*1/4+3*1/8+4*1/16+5*1/32+6*1/64+7*1/128+8*1/256+…=4.
    De media AB aparece por primera vez después de cuatro letras.

    El caso AA es más complicado, en la suma aparecen los términos de la sucesión de Fibonacci debido a la forma en que se alternan:
    2*1/4+3*1/8+4*2/16+5*3/32+6*5/64+7*8/128+8*13/256+…=6.
    De media AA aparece por primera vez después de seis letras.

    Me ha sorprendido que ambos resultados sean enteros. Quizás haya una forma más sencilla de llegar al resultado.

    Lo que no me planteo es calcular los valores para ABRACADABRA y ABRACADABRX. Lo he mirado por encima y se complica muchísimo.

  8. Corrijo el primer caso:

    La suma que hay que resolver en el caso AB es 2*1/4+3*2/8+4*3/16+5*4/32+6*5/64+7*6/128+8*7/256+…=5.
    De media AB aparece por primera vez después de cinco letras.

    En los sumatorios, el primer término indica cuando aparece AB y el segundo la proporción de casos en los que tarda esa cantidad. Aparece en 2 en 1/4 de los casos, en 3 en 2/8 (aparece en 1/8 de dos formas diferentes), en 4 en 3/16…

    Una comprobación necesaria es que las proporciones de los casos sumen 1, es decir, que aparece siempre el texto buscado. Y así es en los dos casos: en AB 1/4+2/8+3/16+4/32+5/64+6/128+…=1 y en AA 1/4+1/8+2/16+3/32+5/64+8/128+…=1.

    Además podemos comprobar para cuatro letras que los casos que aparecen con AB son 16*1/4+16*2/8+16*3/16=4+4+3, mientras que para AA son 16*1/4+16*1/8+16*2/16=4+2+2, los mismos que ha contado Encías Joe.

  9. No sé muy bien de dónde salen los diversos términos, me resulta complicado comprenderlo.
    El análisis que yo hago es el siguiente: en el momento que sale una A, el juego se acaba necesariamente en la siguiente tirada, de manera que saliendo una A, gana AA y saliendo una B, gana AB. La única manera que tiene el juego de alargarse es con una serie de Bs desde el principio. No he calculado el número de tiradas esperado antes de que se acabe el juego, pero no veo ninguna asimetría entre AA y AB.

  10. Maestrillo, no es una competición, se trata de ver cuánto se tarda de media en que aparezca cada uno de los textos. Se analizan los dos por separado ya que son independientes.

    No es nada intuitivo que AB salga de media más rápido que AA, por eso he hecho el cálculo exacto.

  11. También puedes mirarlo así: si «gana» AA, AB puede salir en una sola pulsación más, pero si «gana» AB, se necesitan al menos dos pulsaciones para que salga AA. Eso hace que a la larga AB salga de media en menos tiempo que AA.

  12. Decir «juego» es una manera de hablar y se puede entender como «cuál es la probabilidad de que aparezca por primera vez AA y AB».

    Dejando aparte la razón por la qué planteas la facilidad con la que salen AA o AB habiendo salido ya su «opuesto» no veo por que dejas la posibilidad de que salgan OTRA vez lo mismo.

    No veo que hayas refutado mi análisis sobre las secuencias que llevan a que aparezca primero AA o AB y yo necesitaría ver de dónde salen los diversos términos.

  13. Hay que contabilizar cada secuencia por su lado, es decir AA aunque haya salido AB.
    He montado un programa de simulación y me salen aproximadamente 4 y aproximadamente 6.

  14. «No es nada intuitivo que AB salga de media más rápido que AA»
    Si estuviésemos viendo cuál sale más, AA o AB, entonces sí que sería lógico que estuviesen empatados, ambos son igual de probables.
    Pero no se trata de ver «cuál sale más» sino «cuál sale antes». Y aunque AA y AB, como es lógico, aparecen el mismo número de veces (en total), AB aparece antes (de media) porque practicamente NO SE PISA A SÍ MISMA. Mientras que AA se pisa a sí misma constantemente. Es decir, las apariciones de AA se suceden juntas, y recordemos que en cuanto haya una, ya se acaba el juego, siendo las que vienen a continuación «desperdicio».
    AA DERROCHA SUS PROBABILIDADES DE SALIR SALIENDO EN PARTIDAS EN LAS QUE YA HABÍA SALIDO. AB no lo hace.

    Veámoslo:
    Casos totales (para 4 intentos):
    AAAA, AAAB, AABA, AABB, ABAA, ABAB, ABBA, ABBB, BAAA, BAAB, BABA, BABB, BBAA, BBAB, BBBA, BBBB

    -AA sale 12 veces en total:
    3 veces en AAAA
    2 veces en AAAB, BAAA
    1 vez en AABA, AABB, ABAA, BAAB, BBAA
    Pero a pesar de aparecer 12 veces, sólo aparece en 8 combinaciones. Las otras 4 veces que aparece, es en combinaciones en las que ya había salido previamente, por lo tanto no cuentan (el juego ya se ha acabado)

    -AB también sale 12 veces en total:
    2 veces en ABAB
    1 vez en AAAB, AABA, AABB, ABAA, ABBA, ABBB, BAAB, BABA, BABB, BBAB
    Pero sus 12 apariciones se producen en 11 combinaciones diferentes, el único AB que se desperdicia es el segundo de ABAB.

  15. Tanto para AA como AB primero necesitamos que salga una A
    Supongamos que acaba de salir la A:

    -Si estamos buscando AA tenemos dos posibilidades:
    Un 50% de que salga otra A y ganar el juego.
    Un 50% de que salga una B, y TENER QUE VOLVER A EMPEZAR DE CERO en la búsqueda de AA. (La probabilidad de ganar en la siguiente letra sería del 0%)

    Si estamos buscando AB tenemos dos posibilidades:
    Un 50% de que salga una B y ganar el juego.
    Un 50% de que salga una A, y TENER QUE SEGUIR BUSCANDO AB, PERO NO DESDE CERO, PORQUE YA TENEMOS UNA A. (La probabilidad de ganar en la siguiente letra sería del 50%)

    Cuando estamos buscando AA, el hecho de que no haya salido en el movimiento anterior, hace MENOS PROBABLE que salga a continuación.

    Cuando estamos buscando AB, el hecho de no haya salido en el movimiento anterior, hace MÁS PROBABLE que salga a continuación.

    **Del mismo modo que la probabilidad de AA disminuye por el hecho no haber salido en el movimiento anterior, también aumenta por el hecho de sí haber salido en el movimiento anterior. Pero ese aumento no le sirve de nada, porque ya se habría acabado el juego.
    Por eso decía en el mensaje anterior que AA «malgasta» sus probabilidades .

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