Eliges un número entre 1 y 6 y sigues tirando un dado hasta que lo obtienes.
En ese momento paras y sumas todos los valores obtenidos.
En el siguiente ejemplo, el número elegido es 6 y la suma total de los números en la secuencia resultante es 35.
¿Qué número elegirías para (en un cáculo probabilístico) minimizar la suma resultante?
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[spoiler] si pienso con el 6 y hasta el quinto lanzamiento no saco otro seis la suma , si lo he entendido bien, sería por poner un ejemplo 2+5+3+4+6=20
Si pensara en el 1 la misma tirada sería
2+5+3+4+1=15
Si la solución va por ese planteamiento me quedo con el 1 [/spoiler]
De cabeza me sale que [spoiler] la esperanza matemática es la misma en los dos casos, 21. 5*3+6=5*4+1.[/spoiler]
[spoiler]La primera vez que aparece un número de media es la sexta. Puede ser la primera (un sexto de las veces) o la vigésima (bastante menos probable) pero el valor medio es seis. No se me ocurre una manera sencilla de verlo, pero se llega a ese valor con un sumatorio. A partir de aquí es fácil.
Elegimos un número N. La suma de los seis valores posibles es 21: 1+2+3+4+5+6=21. La suma de los otros cinco valores es 21-N. La media de los otros cinco valores es (21-N)/5. La suma promedio de los cinco números que salen antes que N es 5*(21-N)/5=21-N. La suma de esos cinco números y N es siempre 21, 21-N+N=21.[/spoiler]
Los juegos que acaban en una sola tirada gana el que ha escogido el 1.
En los juegos que acaban en la segunda tirada, si has escogido el 6, la esperanza es de 9, si has escogido el 1 es de 5 si has escogido el 2 es de 5,8.
En los que acaban en la tercera tirada, las diferentes esperanzas son: si escoges el 6, de 12, escogido el 1, de 9, escogido el 2, de 9,6.
Las esperanzas tienden a igualarse conforme aumenta la duración del juego, pero siempre van a favor del uno.
Visto así, el 1 parece la mejor elección.
He hecho series de 100 000 jugadas para el 1 y el 6 y el valor esperado oscila alrededor de 21 en los dos casos.
Deberia escoger el 1. El numero de veces que lanzas el dado hasta obtener un cierto digito no depende del digito que elegiste. Asi, la suma en promedio de todos los lanzamientos previos no depende del digito que elegiste. Pero como sumas tambien el ultimo digito obtenido, es preferible elegir el 1.
Nota: se puede calcular el promedio del numero de veces que tienes que lanzar el dado para obtener un cierto numero. El calculo va asi:
1/6 * 1 (caso en que lo obtienes en el primer intento)
+ 5/6 * 1/6 * 2 (caso en que lo obtienes en el segundo intento)
+ 5/6 * 5/6 * 1*6 * 3 (tercer intento)
+ …
o sea es la suma de 1/6 * (5*6)^n * (n+1) con n de 0 a infinito.
Eso se puede calcular y da el resultado 6. Significa que en promedio, tomaras 6 intentos para obtener un digito especificado.
En este juego, como el valor del dado en promedio es 3.5, la suma que obtienes seria entonces en promedio 5*3.5 + k, donde k es tu digito elegido.
Coreccion: Me equivoqué con mi razonamiento: el promedio obtenido antes del digito elegido depende obviamente del numero elegido (ya que no puede aparecer este numero). Si el numero es a, el promedio del total es (6-1) * (21-a)/5 + a = 21.
O sea, exactamente lo que explicaba Mmonchi 😉
Qué interesante, las partidas «cortas» dan ventaja a la elección del 6, pero las partidas «largas» le dan ventaja al 1 (en las que duran 6 tiradas no hay ventaja para ningua elección). Pero se compensan exactamente.