La bola roja

Una urna contiene 80 bolas negras y una bola roja. Sara y Noemí se van a turnar para sacar bolas de la urna (sin reemplazo), y la que saque la bola roja gana 80€. Noemí le ofrece a Sara la opción de sacar primero a cambio de que si gana Sara , le dará 1€ a Noemí.

¿Debería Sara aceptar?

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Jose

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Mmonchi
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Mmonchi

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GVF
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GVF

Seguro que voy a recibir una colleja pero tengo que hacer la pregunta

Por qué dices que da igual quién empieza, si sacan las bolas por turnos , a más bolas menos posibilidades, no ?
Es lo mismo sacar el primero con 81 bolas que el segundo con 80 ?

Gracias.

Javier
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Javier

Bueno, yo creo que quien sque primero tiene una pequeña ventaja, ya que 80 son las bolas negras, mas una roja (es lo que entiendo), por lo tanto aunque en las 80 primeras la posibilidad es del 50% ¿Que pasa si está en la última?
Yo se lo daría, lo peor que pùede pasar es que ella saque antes la bola roja, con lo que me quedo como estaba, es decir, sin nada, y si la saco yo… le doy el € y yo me llevo 79, pues muy bien 🙂

Mmonchi
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Mmonchi

Perdón, corrijo lo que dije antes. Conté 80 bolas, no 81.

Si hay 81 bolas, la probabilidad de sacar la bola roja es de 1/81 en cada una de las extracciones. La probabilidad de ganar del primero es 41/81 y la del segundo es de 40/81. Como se pagan 80€ el beneficio esperado para el primero es de 80*41/81=40,4938€ y el del segundo es 80*40/81=39,5062€. La ventaja del primero es de 80/81=0,9876€. Si el segundo paga 1€ para ser primero su beneficio esperado disminuye en 1 céntimo, pasa de 39,5062€ a 40,4938-1=39,4938€, una cantidad 0,0123€ inferior. Por muy poco no debe aceptar.

GVF
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GVF

Ahora es cuando me gano dos collejas por preguntar algo que al final no voy a entender…..

La primera saca una bola de las 81 que hay en la urna
La segunda saca una bola de las 80 que quedan en la urna ( ya que no se repone ).

…… la probabilidad de sacar la bola roja es de 1/81 en cada una de las extracciones.
En la segunda extracción solo habría 80 bolas, no ?
Disculpas por adelantado y gracias

Mmonchi
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Mmonchi

GVF, se puede ver de la forma fácil o de la difícil.

La forma fácil consiste en convertir el problema en otro simlar: se sacan las 81 bolas de forma alternada y al final se ve en qué tirada salió la roja. La probabilidad de que haya salido en cualquiera de las 81 extracciones es la misma, 1/81. Es similar al nuestro, solo que nosotros no sacamos todas las bolas sino que nos paramos al sacar la roja, pero eso no afecta a las probabilidades.

La forma difícil es verlo como probabilidad condicionada. Se saca la primera bola, la probabilidad de que sea la roja es 1/81. Si la primera es negra se saca la segunda, la probabilidad ahora es de 1/80, pero estamos considerando que la primera fue negra, lo que tiene una probabilidad de 80/81, luego la probabilidad de sacar la primera negra y la segunda roja es de 80/81*1/80=1/81. La probabilidad de que la tercera sea roja considerando que la primera y la segunda fueron negras se calcula de forma similar, 80/81*79/80*1/79=1/81. Y así sucesivamente.

Los dos son equivalente, el primero sequiere intuición y el segundo solo cálculos matemáticos, pero el resultado es igual.

Javier
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Javier

Joer Mmonchi eres un fiera, e incluso sabiendo por ti de forma matemática que no compensa por muy poco, en el sentido práctico yo ni lo dudo, euro para Noemí, y una minima ventaja para Susana, pero ventaja al fin y al cabo 🙂

GVF
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GVF

Se puede ver de la forma fácil o difícil.

Para tí existe lo difícil?

Alucino. Gracias Mmonchi.

Encias Joe
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Encias Joe

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Encias Joe
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Encias Joe

(Lo vuelvo a poner porque en el comentario anterior había una errata)
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Jose Acertijo
Admin

2 apuntes al hilo de los comentarios que me hacen sentir bien.
1.- Cuando estaba escribiendo este problema me planteé la posibilidad de usar un número par total de bolas o un número impar. La primera era más intuitiva, “menos matemática“, mientras que la segunda daba pie a un análisis detallado, así que opté por la segunda, con un número de bolas que no hicieran evidente la solución con la esperanza que alguien dijera también: si hubiera un número par de bolas, entonces…
Así que me alegro de que haya sido así. ( Y ahí estaba Mmonchi, que incluso cuando se confunde aporta luz)
2.- Pensé introducir una argumentación por parte de Noemí para justificar su ofrecimiento del mismo tipo que planteaba GVF, pero pensé que se vería como una trampa del enunciado y que orientaría a la solución correcta.
No me esperaba que nadie lo planteara, pero ahí estaba GVF para desbrozar y sacar partido al acertijo, sin parecer una trampa.

Muchas gracias a todos por comentar y aportar.