Un cierto número de los 5.000 miembros de la Sociedad Aritmética Mundial (cada uno de los cuales tiene un número de filiación diferente entre 1 y 5.000) se reunieron para discutir un problema. Para sorpresa de ellos, al hacer cola para tomarse un refresco en la cafetería, descubrieron que sus números de afiliación formaban un conjunto de números consecutivos y, más aun, que ninguno de los miembros había quedado al lado de alguien cuyo número de afiliación fuera primo relativo con el propio. Recuerda que dos números son primos relativos si no tienen un divisor común mayor que 1.
¿Cuántos miembros de la Sociedad se reunieron y cuáles eran sus números de afiliación?
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Creo que…
De momento no he conseguido demostrar que con cualquier otro número de miembros es imposible pero estoy casi seguro de que es así.
*Antes de nada, aclarar que a los primos relativos les voy a llamar coprimos, que es más corto.
La clave es el hecho de que dos números consecutivos siempre son coprimos. Por otra parte, si n es primo, todos los números que hay entre n y 2n serían coprimos con n.
Para n=2 (x, x+1)
Es imposible ya que dos números consecutivos siempre son coprimos
Para n=3 (x, x+1, x+2)
x+1 no puede ir pegado a x ni a x+2, por lo tanto es imposible
Para n=4 (x, x+1, x+2, x+3)
x+1 no puede ir pegado a x ni a x+2, por lo tanto tiene que ir con x+3
x+2 no puede ir pegado a x+1 ni x+3, por lo tanto tiene que ir con x
Por lo tanto:
x+1, x+3, x, x+2
Pero…
Si x es par: x+1 y x+3 son coprimos
Si x es impar: x y x+2 son coprimos
Por lo tanto es imposible
Supongo que se puede demostrar de manera general para todo n, pero ahora estoy algo espeso
Sólo te falta demostrarlo para todo n, Encías Joe, cuando no estés espeso 😉
Encias Joe, este problema tiene solución, 😉 .