Probabilidades

 

Coca-cola tiene 7 diseños de sus latas. Si compras un pack de 12 latas , ¿cuál es la probabilidad de que todos los diseños estén incluidos en el pack?

¿Y para m diseños y n latas por pack, con n>m?

Acertijo enviado por psierra.

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Jose

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Mmonchi
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Mmonchi

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Una fórmula general parece algo complicado.

psierraa
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psierraa

Yo lo saqué de Snark y allí dicen que es aproximadamente un 47 %.
Qué razonamiento has seguido para resolverlo Mmonchi?

Mmonchi
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Mmonchi

La probabilidad de tener n latas en un momento dado es (P1;P2;P3;P4;P5;P6;P7).

Después de sacar 1 lata esta es la situación: (1/1;0/1;0/1;0/1;0/1;0/1;0/1).
Es decir, la probabilidad de que haya una variedad es 1 y la de que haya 2, 3, 4, 5, 6 o 7 es 0.

Con 2 latas se convierte en esta: (1/7;6/7;0/7;0/7;0/7;0/7;0/7).
La probabilidad de que la segunda lata sea igual que la primera es de 1/7 y la de que sea diferente es 6/7. De modo que la probabilidad de que haya una variedad es 1/7, la de que haya 2 es 6/7 y la de que hayan 3, 4, 5, 6 o 7 es 0.

Con 3 latas es: (1/49;18/49;30/49;0/49;0/49;0/49;0/49).

Para pasar de la probabilidad de n latas a la de n+1 latas hago esta operación:
(P1*1/7;P1*6/7+P2*2/7;P2*5/7+P3*3/7;P3*4/7+P4*4/7;P4*3/7+P5*5/7;P5*2/7+P6*6/7;P6*1/7)

4 latas: (1/343;42/343;180/343;120/343;0/343;0/343;0/343)
5 latas: (1/2401;90/2401;750/2401;1200/2401;360/2401;0/2401;0/2401)
6 latas: (1/16807;186/16807;2700/16807;7800/16807;5400/16807;720/16807;0/16807)
7 latas: (1/117649;378/117649;9030/117649;42000/117649;50400/117649;15120/117649;720/117649)
8 latas: (1/823543;762/823543;28980/823543;204120/823543;378000/823543;191520/823543;20160/823543)
9 latas: (1/5764801;1530/5764801;90750/5764801;932400/5764801;2502360/5764801;1905120/5764801;332640/5764801)
10 latas: (1/40353607;3066/40353607;279900/40353607;4092600/40353607;15309000/40353607;16435440/40353607;4233600/40353607)
11 latas: (1/282475249;6138/282475249;855030/282475249;17490000/282475249;88822800/282475249;129230640/282475249;46070640/282475249)
12 latas: (1/1977326743;12282/1977326743;2595780/1977326743;73380120/1977326743;496584000/1977326743;953029440/1977326743;451725120/1977326743)

Mmonchi
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Mmonchi

La probabilidad de tener 7 variedades con 12 latas es 451725120/1977326743, que es la que he puesto simplificada.

psierraa
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psierraa

Y como sabes que el paso de n latas a n+1 es correcto?

Mmonchi
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Mmonchi

Para pasar de P1 a P1′:

Si solo tengo una variedad (P1) hay una probabilidad entre 7 de que la lata sea de la misma variedad y siga teniendo una. Por tanto P1’=P1*1/7.

Para pasar de P2 a P2′:

Puedo llegar a tener dos variedades (P2′) de dos formas: si tenía una (P1) y sale una de las otras 6 variedades, es decir P1*6/7; si tenía dos (P2) y sale una de esas dos variedades, es decir P2*2/7. Por tanto P2’=P1*6/7+P2*2/7.

Y así con las 7 probabilidades.

Una comprobación es ver la probabilidad de tener 7 variedades después de sacar 7 latas, que es fácil de calcular: 1*6/7*5/7*4/7*3/7*2/7*1/7. El valor de P7 con 7 latas coincide con el calculado.

Fresno
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Fresno

Show ▼ Otra forma de llegar al mismo resultado de Mmonchi es con la siguiente tablita A B C D 6,1,1,1,1,1,1 7 665.280 4.656.960 5,2,1,1,1,1,1 42 1.995.840 83.825.280 4,3,1,1,1,1,1 42 3.326.400 139.708.800 4,2,2,1,1,1,1 105 4.989.600 523.908.000 3,3,2,1,1,1,1 105 6.652.800 698.544.000 3,2,2,2,1,1,1 140 9.979.200 1.397.088.000 2,2,2,2,2,1,1 21 14.968.800 314.344.800 En A está el esquema de repeticiones: por ejemplo la primera fila es: un modelo que se repite 6 veces y otros seis sólo uno, la segunda: cinco de un modelo, dos de otro y los cuatro que quedan de cuatro modelos distintos y la última 5 modelos se repiten dos veces y dos uno sólo. B es el numero de formas de conseguir el esquema de repeticiones, por ejemplo la primera se puede conseguir de siete formas, ya que el modelo que se repite seis veces, puede ser cualquiera de los siete. C es el número de permutaciones del esquema, por ejemplo la primera es permutaciones de 12 en la que un elemento se repite 6 veces 12!/6!, y la cuarta (4,2,2,1,1,1,1) el numero de permutaciones en las que un elemento se repite 4 veces, otro 2 y otro 2 12!(4!*2!*2!) en D está el producto de B y C la suma de D da 3.162.075.840 que dividido entre 13.841.287.201 que es igual a 0,22845244 = 22,8452% siendo 13.841.287.201 el numero total de posibles disposiciones de 7 modelos en doce latas = 7^12

Fresno
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Fresno

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psierraa
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psierraa

Tal y como yo entendí el problema, el orden importa, porque son combinaciones de packs distintas.
Y muchas gracias a los dos por las respuestas, me lo aclararon muy bien XD