Problema de geometria

Un campesino tiene tres cabezas de ganado y un campo rectangular de 200 metros de largo y 100 metros de ancho, todo él rodeado de un sólido muro. Quiere colocar a esas tres cabezas de ganado atadas, cada una a una cuerda y éstas sujetas a unas argollas situadas en los muros que limitan la finca, de modo que cada res tenga un espacio suficiente para comer el pasto, pero sin invadir el de las otras.
1ª ¿Dónde situaría las argollas de cada una de las tres reses en el muro de la finca, para que dispusieran cada una de ellas de la misma superficie de pasto y que ésta fuera la mayor posible?
2ª ¿Cuál sería la longitud de la cuerda con que ataría a cada res?
3ª ¿Qué superficie de pasto tendría a su disposición cada cabeza de ganado?
4ª ¿Qué porcentaje de pasto quedaría sin utilizar?

Problema enviado por psierra.

Sobre el autor

Jose

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19 comentarios sobre “Problema de geometria”

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  3. Perdonad que me meta en un acertijo que esta fuera de mi orbita.
    Pero resulta que estaba yo probando, prueba y error, con un juego de compases de mi infancia haciendo círculos y semicírculos para encajarlos dentro del rectángulo. No lo he conseguido.
    Ahora con las medidas de Mmonchi resulta mas fácil.
    Haciendo un dibujo a escala 20×10 y pasando esas medidas a escala resulta , si no me equivoco, que los tres semicírculos que se dibujan prácticamente se tocan. De ser asi y me gustaría que lo comprobaseis, creo que no habéis tenido en cuenta una variable.
    Os agradecería que hicierais un dibujo a escala para comprobar si estoy en lo cierto y me respondierais.
    Gracias

  4. respuesta a GVF
    Tienes que darte cuenta que no son 3 semicirculos sino que es un semicirculo y 2 cuartos de circulo
    yo lo he resuelto de la siguiente forma
    1º He trabajado en Hectometros para simplificar los calculos
    2º He considerado unos ejes de coordenadas donde el vertice del cuarto de circulo es el punto (0,0) y el vertice del semicirculo es el punto (1,1)
    3º Como las areas han de coincidir busco la relacion entre los radios y sale que el radio del cuarto de circulo es sqr2 el radio del semicirculo
    4º calculo las ecuaciones de las dos circunferencias
    5º resuelvo el sistema de ecuaciones y le obligo a que tenga solucion unica y de esta forma obtengo el valor del radio

  5. Enlero, haciéndolo como tú, para los puntos 4 y 5 se simplifica ya que el punto de tangencia está en la línea que une los centros. Por tanto la línea que va de (0,0) a (1,1) es la suma de los dos radios. De ahí R+r=√2, y como R=r√2, r=√2/(1+√2) y R=2/(1+√2).

  6. Agradezco las explicaciones que ambos me habéis dado.
    Espero que no os enfadéis conmigo pero creo que hay una variable que no habéis tenido en cuenta al calcular la longitud de la cuerda.
    MATEMATICAMENTE está resuelto de forma impecable.
    EN LA VIDA REAL no puede llevarse a cabo.
    Al haber optimizado al milímetro la superficie de pasto, no habéis descontado la longitud de las res, que puede variar desde 2-3 metros (vaca, buey) a 1 metro (cabra, oveja…)
    Podéis atar al animal por una pata o por el cuello….. pero esa longitud invadirá el pasto de la otra vaca cosa que prohíbe el enunciado.
    Este comentario no es cachondeo, ni ganas de tomarle el pelo a nadie. Espero que lo consideréis como otra forma de enfocarlo.
    Si el acertijo es puramente matemático, chapeau, para ambos.
    Si no hay que invadir al otro, habría que pensar, o tenerlo en cuenta, en reducir la longitud de la cuerda en un x% variable según el animal.
    Es solo una opinión.
    Gracias por vuestro tiempo.

  7. Pero Mmonchi la duda es, y he aquí lo importante del problema, cómo puedes demostrar que la solución que has elegido es la que hace la superficie de pasto la mayor posible, y que no hay otra mayor?
    Lo puedes demostrar matemáticamente o es que de las ideas que tenías sobre la distribución de las reses era la que mayor superficie te daba?
    Esto era lo que se me atascaba cada vez que me ponía a resolverlo.

  8. 1. La solución es simétrica.

    Tomamos la argolla que está más cerca del centro de un lado largo pero separada de él (si ninguna argolla estuviera en los lados largos la máxima cuerda sería 50 m, lo que es inferior a la solución conocida). Esa argolla no puede tener una cuerda más corta que en el caso presentado porque el área sería menor. Dividimos la parcela con una línea paralela al lado menor que pasa por esa argolla y nos quedamos con el rectángulo menor. Como la distancia entre las dos argollas de ese lado es menor que antes (porque antes era la máxima posible, las dos esquinas del cuadrado que formaba una mitad) tenemos que la otra cuerda mide menos. Pero eso no puede ser, porque el área de la cuerda de la esquina sería menor al ser más corta la cuerda.

    Por tanto una argolla debe estar en el centro de un lado largo y la posición óptima de las otras dos es simétrica a cada lado.

  9. Mmonchi como dice psierra en ningun momento se ha demostrado que esa se la superficie maxima
    si vamos deslizando la argolla a lo largo del lado menor la superficie que se detemina ya no es un semicirculo o un cuadrante sino que es una parte de un segmento circular lo cual en mi opinion dificulta enormemente el problemar

  10. 2. Las otras argollas están en las esquinas.

    Partimos de la solución simétrica. Tomamos un cuadrado con una argolla en una esquina y la otra en la esquina opuesta. El área que barre la cuerda de la primera argolla es la mitad que el de la segunda (para que al sumar los dos cuadrados las tres áreas sean iguales).

    Ahora desplazamos una distancia pequeña x la segunda argolla alejándola de la esquina. La distancia entre las dos argollas se reduce x/√2 (es una aproximación válida cuando x es pequeña). Como la longitud de la primera cuerda (r) no puede disminuir (porque entonces sería menor el área de su semicírculo) es la longitud de la segunda la que disminuye (R pasa a R-x/√2). La segunda cuerda barre un área que es un cuarto de círculo ampliado hacia la esquina. Tomo una superficie mayor, la que forma el mismo cuarto de circunferencia más un rectángulo hasta el lado que engloba la superficie ampliada. El rectángulo mide (R-x/√2)*x. Voy a demostrar que esta superficie es menor que la que barría desde la esquina.

    El área inicial era pi*R^2/4. La nueva es pi*(R-x/√2)^2/4+(R-x/√2)*x. La diferencia es pi*R^2/4-pi*(R-x/√2)^2/4-(R-x/√2)*x, al desarrollarlo queda como Rx*(pi/2/√2-1)+x^2*(1/√2-pi/8). Resolviendo los paréntesis es 0.11*Rx+0.31x^2.

    Como todos los términos son positivos el área inicial era mayor, y por tanto al alejarme de la esquina el área disminuye.

  11. Espero que se entienda bien. La idea es demostrar que el área desde la esquina es mayor que un cuarto de circunferencia desde otro punto más el rectángulo que queda hasta la pared, que a su vez es mayor que el área real desde el nuevo punto.

    La solución matemática es una aproximación cuando x tiende a 0, podría acotar el error demostrando que es inferior a la diferencia que se obtiene, pero sería largo y creo que se ve que va a ser así. Pero para una demostración formal ese sería el camino.

  12. Enlero, llevas razón, el problema con la superficie real es muy difícil, te tienes que meter en trigonometría. Pero haciendo el truco de colocar un rectángulo en el lado que engloba la nueva parte del sector circular la parte matemática se simplifica mucho.

  13. brillante la exposicion
    yo he intentado encontrar una funcion pero me encontraba siempre con dos variables una de ellas la posicion de la argolla y otra el valor del radio

  14. Mi teoría es la siguiente… Show ▼

    Un saludo

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