La primera que pensé fue esta:

_#_#
#_#_
_#_#
#_#_

Aunque en esta no me había fijado en el dato de los 6 en total.

Esta solución es bastante sencilla (estilo tablero de ajedrez), tiene exactamente 2 en cada fila y columna,
y respecto a las diagonales en las que son de pendiente positiva tiene 0, 2, 0, 4, 0, 2 y 0 respectivamente … sin embargo en las diagonales de pendiente negativa no son pares, ninguna (hay impares: 1 y 3)

Luego sin ser 6 en total, sino 8 también, encontré otra solución que me gusta más:

_##_
#__#
#__#
_##_

Tiene exactamente 2 en todas las filas, columnas y diagonales… (excepto las cuatro diagonales de 1 círculo y las principales, de 4, en cuyo caso el hay 0… aunque las 4 de 1 círculo es imposible que tengan un número par, está claro: o tienen 0 o tienen 1).

Luego, fijándome que en el enunciado dice 6 puntos…
y conservando un poco la figura en círculo anterior,
llegué a la siguiente:

__##
_#_#
_##_
____

Donde hay sombreados (en cantidad distinta de 0) hay siempre 2 (en columnas, filas y diagonales) … excepto en dos diagonales, que no son las principales, donde hay 1.

Esta solución es una variante de la de PPT
____
_#_#
__##
_##_

Se puede pasar de esta solución a la anterior (o viceversa) permutando unas filas por otras.
Se puede observar que una permutación de filas (o columnas) no hace variar las cantidades que hay en cada una de ellas, ni tampoco las que hay en las columnas (si se permutan filas, o filas si se permutan columnas) pero sí las cantidades que hay en diagonales.

Obteniendo las 6 permutaciones de las 3 filas (las que tienen 2, excluyendo la que tiene 0) la que obtuve yo y su simétrica especular son las que más paren tienen en las diagonales. Otras permutaciones que incluyan la fila que tiene 0 no obtienen mejores resultados.
Por otro lado, si el total es 6 es fácil darse cuenta de que una fila debe quedar con 0 y una columna debe quedar con 0 así que los sombreados se deben concentrar en un cuadrado de 3×3 … y las únicas combinaciones binarias con 2 unos son 011, 101 y 110

Con eso se ve claro que aún admitiendo ceros no hay una solución que no tenga impares (a no ser que cuando se refiera a diagonales se refiera sólo a las diagonales principales… que en ese caso la solución de PPT es válida, y también la mia). Y la que he dado sería la que tiene más.

123:
____
_#_#
__##
_##_

132:
____
_#_#
_##_
__##

213:
____
__##
_#_#
_##_

231:
____
__##
_##_
_#_#

312:
____
_##_
_#_#
__##

321:
____
_#_#
__##
_##_

Si ponemos partiendo desde arriba – izq. nombrando las columnas A B C D y las filas 1 2 3 4.

Los circulos a sombrear serian el B2, D2, C3, D3, B4 y C4.