Como Arquímedes hizo notar, un objeto situado en uno de los brazos de una palanca ejercerá una “fuerza” de torsión tendente a hacerla girar en torno al punto de apoyo. En física, esta torsión se llama “momento” y es igual al producto del peso del objeto por su distancia al fulcro o punto de apoyo. (También interviene el ángulo de la palanca, pero aquí no será necesario tenerlo en cuenta.) Si el objeto se encuentra a la izquierda del fulcro, el momento es antihorario o “levógiro”; si a la derecha, horario o “dextrógiro”. Para calcular el momento total respecto a un apoyo, basta sumar los momentos de todos los objetos individuales que se hayan colocado en la palanca.
El problema consiste en lograr que la palanca se mantenga en equilibrio mientras se ajustan los objetos colocados sobre ella. A modo de calentamiento, probemos suerte con un problema preliminar: Supongamos un larguero recto, perfectamente rígido, de 20 metros de longitud y 3 kilos de peso, uniforme en toda su longitud. El centro de masa del larguero está en su punto medio; tal posición será llamada 0 y tomada como origen. De esta forma, las posiciones de un objeto sobre el larguero podrán ir desde –10 (extremo izquierdo) hasta +10 (extremo derecho). El larguero está sostenido en dos puntos por dos apoyos iguales, situados en las posiciones –1,5 y +1,5. Estos soportes tienen una altura de 2 metros y se alzan sobre una superficie plana. Sobre el larguero se encuentran 6 paquetes, en las posiciones –8, –4, –3, 2, 5 y 8, cuyos pesos respectivos son 4, 10, 10, 4, 7 y 8 kilos, respectivamente (ilustración A).
La tarea consiste en ir retirando los paquetes de uno en uno, de modo que el larguero descanse siempre sobre los dos apoyos, sin caer hacia uno u otro lado. El larguero se inclinará si el momento total respecto al fulcro izquierdo (resultante de los pesos de los paquetes y del propio larguero) tuviera sentido contrario antihorario, o levógiro, o si el momento total con respecto al apoyo derecho tuviera el sentido horario, o dextrógiro.
Y ahora un problema un poco más difícil. Supongamos que haya 15 paquetes en ese mismo larguero, con las posiciones y pesos indicadas en la ilustración B. Hay paquetes que se encuentran a la misma distancia del centro del tablero, uno al lado del otro. Hállese un orden en el que ir retirando los paquetes sin que el larguero se desequilibre en ningún momento.
Me pregunto, Mmonchi, a causa de la solución aportada por el autor al primer problema, ..
Solución: se retira por este orden: -4, 8, -8, -3 y 2. Como ves, ha dejado el que está en el 5. No tengo claro si es un error o responde a la cuestión que he planteado. ¿Qué opinas?. Gracias.
Si hubiera solo un peso de 9 kg. en la marca de 2 o -2 estaría en equilibrio con los momentos de la tabla, a partir de 9 kg se caería. Se puede dejar perfectamente el peso de 5 kg. para el final.
En la marca de 3 o -3 el peso límite es de 3 kg., en la de 4 o -4 es de 1,8 kg., etc.
Espera, no he respondido a tu pregunta, he mirado el segundo problema y no el primero. Un peso de 7 kg. en el 5 desequilibra el larguero:
Tenemos que el larguero pesa 3 kg. y está apoyado a 8,5 m de un extremo y 11,5 m del otro, eso es equivalente a tener dos pesos puntuales de 1,275 kg. (8,5*3/20) y 1.725 kg. (11,5*3/20) situados a la mitad de cada tramo, es decir a 4,25 m y 5,75 m respectivamente. Los momentos que crean son de 1.275*4.25=5.41875 y 1.725*5.75=9.91875. El máximo momento que puede crear un peso sin desequilibrar el larguero es 9.91875-5.41875=4.5 kgm.
Un peso de 7 kg. en el 5, es decir a 3,5 m del apoyo, genera un momento de 7*3.5=24.5 kgm, que excede los 4.5 máximos.
La única explicación que se me ocurre es que los 3 kg. que pesa el larguero sean «3 kg. por metro lineal». En ese caso se podría dejar para el final cualquier peso.
Estoy de acuerdo, tampoco le veo otra explicación; que los 3kg de los metros de más del lado izdo del larguero generen un momento de 3×8,5=25,5kgm. 1kgm más pero suficiente para quedar horizontal apoyándose sobre los dos fulcros sin desequilibrarse. (Si te he entendido claro).