a+s+d+f+g+h+j+k+l=82
a+s+d+f+g+h+j+k+p=83
a+s+d+f+g+h+j+l+p=84
a+s+d+f+g+h+k+l+p=85
a+s+d+f+g+j+k+l+p=87
a+s+d+f+h+j+k+l+p=89
a+s+d+g+h+j+k+l+p=90
a+s+f+g+h+j+k+l+p=91
a+d+f+g+h+j+k+l+p=92

s+d+f+g+h+j+k+l+p= (82, 83, 84, 85, 87, 89, 90, 91 y 92)

Vemos que la única solución obtenida con números enteros es igualando a 90, y los número serían:
5, 6, 7, 7, 8, 10, 12, 13, 14 y 15

1. Donde dice “la suma es múltiplo de 3″ debería decir “la suma es múltiplo de 9″

2. Si son 10 números naturales, las sumas de 9 de ellos que se puede obtener se pueden formar sumando todos menos uno… todos menos el primero, todos menos el segundo, etc. Es decir, en general habría 10 sumas.
Pero en el enunciado sólo aparecen 9 cantidades de suma… así que entiendo que es porque hay 2 números iguales… (y entonces quitar uno o quitar otro supone los mismos 9 sumandos y da el mismo resultado)

Es una lástima no saber cuál de las cantidades es la de la suma de todos, menos uno de los repetidos… pero podemos ir suponiendo cualquiera, e ir resolviendo. La solubilidad o no del sistema no depende de cuál escojamos. En la suma que escojamos podemos expresarla como n1+…+n8 + n9 (n10 = n9 sería el descartado en esta suma) y la llamo S10 (suma todos menos n10)
Y en el resto es todos menos n1 … etc, poniendo al final 2*n9.
Es un sistema de 9 ecuaciones con 9 incógnitas, que o bien es imposible o bien tiene solución única
La matriz del sistema sería
(( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )
( 0 1 1 1 1 1 1 1 2 )
( 1 0 1 1 1 1 1 1 2 )
( 1 1 0 1 1 1 1 1 2 )
( 1 1 1 0 1 1 1 1 2 )
( 1 1 1 1 0 1 1 1 2 )
( 1 1 1 1 1 0 1 1 2 )
( 1 1 1 1 1 1 0 1 2 )
( 1 1 1 1 1 1 1 0 2 )
)

Que se podía ir a invertir para solucionar el sistema… pero voy a hacerlo más a mano:

Si sumanos todo, nos da: 8*n1+ 8*n2 + … 8*n8 + 17*n9 = 82+83+84+85+87+89+90+91+92
=90*9 -1-5-6-7-8 = 810-27= 783

Si a esto le quitamos 8 veces S10 nos queda: 9 * n9 = 783 – 8*S10
Así que n9 = 87 – 8 * S10 / 9
Para que sea entero, S10 debe ser múltiplo de 9, es decir, 90
Y entonces n9 = 7
Para ir calculando el resto:
S10 + n9 – 82 = n1 = 15
S10 + n9 – 83 = n2 = 14
S10 + n9 – 84 = n3 = 13
S10 + n9 – 85 = n4 = 12
S10 + n9 – 87 = n5 = 10
S10 + n9 – 89 = n6 = 8
S10 + n9 – 91 = n7 = 6
S10 + n9 – 92 = n8 = 5

La suma de todos menos n9 y n10 es 20*3+10+13 = 83
Si a esto sumo 7 da 90.
Si en vez de sumar 7, sumo 14 (son 97) y resto cada uno de n1…n8 pues nos dan las otras sumas: 97-15 = 82 etc…

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9… suma = 9*5 = 45
si cojo 60 sumo 60 resto 6… casi! (99)
si cojo 50 y 12, 3, 4.. 9… lo mismo
….
Ajá!! Concluyo que es imposible. Razón: clases de congruencia módulo 9…
Como dicho así creo que me iban a entender pocos, me explico: la suma es múltiplo de 3 y cada vez que cojo una cifra C o y la paso a la forma 10*C estoy restando C, entonces 45+10*C-C = 45 + 9*C siempre me da un múltiplo de 9, porque no podemos de salir de la clase de congruencia mod9 = 0

Mi intuición no fallaba: si había solución había muchas

Para que haya solución hay que quitar el 8, ya que 45-8 = 37 = 36+1 y su mod9 es 1, como el mod9 de 100. Sin el 8: 1+2+3+4+5+6+79… ó 31+42+5+6+7+9 … múltiples soluciones