Cachorros a medias

Sara tiene una tienda de mascotas. Recientemente consiguió una camada de cachorros e intentó venderlos  todos.

El primer día,  vendió la mitad de los cachorros, más medio cachorro.
El segundo día, vendió un tercio de los cachorros restantes, más un tercio de un cachorro.
Al tercer día, ella vendió la mitad de los cachorros que le quedaban, más medio cachorro.
¡Al final  solo le quedaba un cachorro!

¿Cuántos cachorros había en la camada?

(Por supuesto ¡ Sara no vendió ninguna fracción de cachorro!)

La mina de oro

En una mina de oro , el metal solo aparece en el 1% de las rocas de la mina.

Tu amigo y tú tenéis un  detector que  siempre ( al 100% ) señala la presencia de oro si hay oro  en una determinada roca .

Por otra parte , tiene una tasa de precisión del 90% al detectar que una roca en particular no tiene oro, es decir , nunca dará un falso negativo pero sí falsos positivos.

Escaneais una roca grande y da un resultado positivo.

Sois socios al 50% , pero por motivos que no importan al acertijo, tu amigo te  ofrece venderte su parte de la roca por  100€. Sabes que una roca de oro de ese tamaño vale fácilmente  1000€.

¿Es ese un precio justo?

Atasco de tráfico

A intervalos de 5 segundos, 100 automóviles entran a un túnel  de carril único , recto (y vacío).

Marchan a velocidades iniciales elegidas al azar en un intervalo [60, 90] km/hora. Los coches no pueden adelantar ni colisionar a otros, cuando uno  se encuentra un automóvil más lento, simplemente debe reducir su velocidad, y para los fines de este problema, podemos considerar que los autos en tal caso se unen permanentemente, viajando a la velocidad del coche más lento.

Finalmente (el túnel es suficientemente largo)  habrá N grupos de coches. ¿Cuál es el valor esperado de N?

Barajando

Supongamos que tenemos una baraja y llamamos “corte” a la acción de coger la mitad inferior de las cartas de la baraja y subirla hacia arriba a la vez que intercalamos las cartas mezclándolas.

Con un ejemplo es más fácil, supongamos 4 cartas:

Vemos que al ir realizando sucesivos cortes , finalmente las cartas vuelven a estar ordenadas como al inicio.

El número de cortes necesario para que esto ocurra depende del número inicial de cartas (consideramos siempre número par inicial de cartas para que pueda dividirse exactamente por la mitad cada corte).

En el caso de 6 cartas tenemos:

En el caso de 16 cartas:

y en el caso de 22 cartas necesitamos 11 cortes ( lo podéis comprobar)

¿Cuántos cortes necesitamos para 18 cartas?

¿Eres capaz de encontrar una relación para un término general?

Si bien la primera pregunta es sencilla ( realizándolo empíricamente) la segunda ya es bastante más complicada.