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Cuadrado mágico especial

El cuadrado de arriba no es un cuadrado mágico habitual , ya que si sumamos los números de las filas y columnas veremos que no obtenemos el mismo resultado.

Sin embargo , sí tiene otra característica que lo hace también mágico.

Empecemos colocando una moneda sobre una de las casillas tapando el número de esa casilla. Ahora tachamos todos los números de las casillas de la fila y la columna dónde pusimos la moneda.

Hacemos lo mismo en cualquiera de las casillas restantes , tapando otro número y tachando las casillas de la fila y columna correspondiente.

Así hasta que nos quedemos con solo 5 monedas tapando 5 casillas y el resto de los números tachados.

Si ahora sumamos los 5 números tapados , veremos que suman 57.

¿Puedes explicarlo?

Dado el cuadrado de abjo , ¿podrías completarlo para que ocurriera lo mismo? (en este caso la suma dará 40)

 

Rectángulos mágicos

Consideramos un rectángulo mágico  m × n   con enteros positivos desde  1   hasta  m × n tal que la suma de los números en cada fila sea la misma y en cada columna también , aunque no necesariamente la suma de la fila sea igual a la de la columna.

Abajo tenemos un ejemplo  de rectángulo mágico  3 × 5  con los enteros del 1 al 15.

ejemplo numeros Para los 24 primeros números tenemos 3 disposiciones de rectángulo diferente :

numeros 24Para uno de  ellos ( y su simetrico equivalente) no hay solución.

Cual de los rectángulos de n24 celdas no tiene solución?

 

Cuadrados bimágicos.

Un cuadrado bimágico , es un cuadrado mágico con la particularidad que si elevamos al cuadrado los números que lo forman , sigue siendo un cuadrado mágico.

El primer cuadrado bimágico conocido ,  obra de G. Pfeffermann en 1890  , de orden 8 ,  con 260 como constante de las sumas y 11180 al elevar al cuadrado cada numero de las casillas.

 

Más tarde , el propio  G. Pfeffermann  encontró el primer cuadrado bimagico de orden impar (9) publicado como puzzle en” Les Tablettes du Chercheur”   en 1891.

En 2006 , Wroblewsky , encontró este cuadrado mágico de orden 6 con la particularidad de que no hay 2 numeros iguales  ni consecutivos entre los que lo forman.

En 1991, David Collison encontró este otro de orden 9 también , con  369 como constante y  20,049 la del cuadrado.

 

Cuadrado anti-mágico

Sí , en esta ocasión el acertijo consiste en un cuadrado anti-mágico.

Coloca los numeros del 1 al 12 ( sólo 1  vez cada número)  en la rejilla de arriba ( obviamente quedaran 24 cuadrículas vacías) , de tal forma que:

En cada fila , cada columna y cada diagonal principal , haya siempre dos numeros diferentes.

Las sumas correspondientes vayan desde 6 a 19 ( todas distintas) .

Algunas sumas ya están marcadas en los laterales de la gradilla.

Completa este cuadrado anti-mágico.