Carrillón proteínico

En los años cincuenta, Jacques Monod y François Jacob, del Instituto Pasteur de París, demostraron que ciertas proteínas reguladoras de la bacteria Escherichia coli tienen la facultad de inhibir la producción de otras proteínas. Utilizaremos la notación X → Y para indicar que la proteína X es inhibidora de la Y. Si X se activa, al cabo de un breve tiempo (un segundo, sea por caso), la proteína Y es inhibida. Si X no se activa, y tampoco se activa ningún otro inhibidor de Y, entonces Y se activará un segundo después de la inhibición de X.

Consideremos ahora tres proteínas, A, B y C, tales que A → B → C → A. Si A se activa, B se inhibe un segundo más tarde. Otro segundo después, C se activa, y al cabo de un segundo más, A vuelve a inhibirse. A partir de aquí el patrón se repite periódicamente: activación de B, inhibición de C, activación de A, inhibición de B, y así sucesivamente. Llamaremos a este sistema un circuito de proteínas: A, B, y C aparecen y desaparecen periódicamente, actuando como un reloj bioquímico. Tal reloj fue llevado a la práctica hace algunos años por Michael Elowitz, siendo alumno de posgrado en la Universidad de Princeton, y por su director, Stanislas Leibler.

El problema consiste en la creación de un “carillón proteínico” que suene cada 70 segundos. Hay ocho circuitos temporizadores, rotulados de A a H, que contienen tres, cinco, siete, o nueve proteínas.
Ninguna de las proteínas de ninguno de los circuitos influye sobre las proteínas de los demás. Ahora bien, en cada circuito hay una proteína inhibidora de la proteína especial T, que cuando se activa emite una señal sonora. Si una cualquiera de estas ocho proteínas T-inhibidoras (que están rotuladas de A1 a H1) se activa, T quedará inhibida un segundo después. Y T no volverá a activarse hasta un segundo después de que todas las proteínas que la inhiben hayan quedado inhibidas.

Para poner en marcha alguno de los circuitos de este reloj es preciso forzar la producción de una de las proteínas del circuito. Por ejemplo, para arrancar el circuito C, podemos mantener C4 en estado activo durante 5 segundos. Un segundo después de comenzar la activación forzada, C5 queda inhibida. En los segundos sucesivos C1 es activada, C2, inhibida, y C3, activada. Pero C4 no queda inhibida al final de los cinco segundos, porque todavía se halla en activación forzada. C3 no impone la inhibición de C4 hasta un segundo después de cesar la activación forzada (es decir, al cabo de 6 segundos de iniciado el arranque). Ahora el ciclo prosigue ininterrumpidamente: en el séptimo segundo C5 se activa, y en el octavo, C1 se inhibe. C1 vuelve al estado activo en el segundo 13, torna a la inhibición en el 18, y así sucesivamente.

Para hacer que el carillón suene exactamente cada 70 segundos, sólo se necesitan cuatro de los ocho circuitos. (Los circuitos excluidos no tienen efecto sobre T.) El problema consiste en averiguar cuáles son los circuitos que se deben usar y de qué forma se hace arrancar a cada uno: ¿Qué proteína del circuito habrá que activar forzadamente, y durante cuánto tiempo? Es posible forzar una proteína hasta un máximo de 15 segundos; a partir de ese momento, el reloj debe funcionar por sí solo.

El problema del kilometraje

Los coches modernos suelen tener dos odómetros. Uno cuenta el número total de kilómetros recorridos en la vida útil del automóvil y no se puede restablecer, y el otro (el medidor de viaje) cuenta el número de kilómetros en un viaje y se puede restablecer a cero. Si alguno de los medidores llega al punto en el que cada uno de los dígitos es un 9, el siguiente número que mostrará el medidor contendrá sólo ceros.

Imagina que los primeros cuatro dígitos del odómetro y el medidor de viaje son los mismos, como se muestra a continuación:

Si no se restablece el medidor de viaje, ¿en qué kilometraje en el odómetro los primeros cuatro dígitos vuelven a ser iguales en ambos medidores?

Pisando el Tatami

A continuación se muestra un arreglo de esteras de tatami. Imagina que estás caminando de A a B a lo largo de los bordes de las colchonetas. Si quieres tomar el camino más largo, una idea es empezar por seguir la línea recta más larga posible, a lo la largo de la parte superior como en la imagen central. O en el lateral, como en la imagen de la derecha. Pero hay un camino aún más largo que estos dos. ¿Puedes encontrarlo?