Un triángulo equilátero tiene tres ángulos iguales de 60° y cada lado mide 60 u.
Cada lado , por tanto , mide tanto ( en unidades de longitud) como el ángulo opuesto (en grados)
Es posible encontrar otro ejemplo en que se cumpla también esto?
Sígueme en redes sociales
20
0
18k
20
Por supuesto, siempre puedo elegir la unidad de medida de longitud para obtener 60, únicamente tendría que hacer más o menos grande el equilátero, y siempre sus ángulos seguirían siendo de 60 grados.
Peter, tú no has dado otra solucion, sino que has dado la misma. El hecho de que el lado mida 60 metros, 60 yardas o 60 años-luz es irrelevente, lo que importa es que sea equilátero.
Lo que nos pide el problema es otro ejemplo DISTINTO, es decir, que no sea con un triángulo equilátero, sino con otro tipo de triángulo.
Resumiendo, la cuestión es la siguiente:
Para que se produzca el fenómeno que describe el enunciado, ¿es estrictamente necesario que el triángulo sea equilátero?
[spoiler]
A bote pronto yo diría que efectivamente este fenómeno sólo se produce con los triángulos equiláteros, no se me ocurre cómo demostrarlo y ni siquiera cómo explicarlo, pero visualizando el problema es la impresión que me da. [/spoiler]
¡HAY,HAY, HAY!
¡NI YO PUEDO CREER LA SOLUCIÓN QUE ENCONTRÉ!
Espero poder explicarla:
[spoiler]
como bien dice EnciasJoe, cualquier triángulo equilátero, cuyo lados sumen 180 (ya sean milímetros, yardas, pulgadas,etc), cumplen con las condiciones dadas.
Por lo que comencé analizando distintos tipos de triángulos (Isósceles, escalenos, rectángulos), cuyos lados, sumados, midiesen 180, y no conseguía nada.
Hasta que, gracias al pensamiento lateral, pensé en el extremo.
Y me pregunté:
¿que sucede si uno de los lados mide 0? (sí, cero)
Pues los otros dos lados estarían superpuestos entre sí, formando un segmento de recta igual a 90 (milímetros, yardas, pulgadas, etc)
De esta manera, cumplimos con el primer enunciado, ya que la suma de los tres lados es: 0+90+90=180
Ahora veamos los ángulos:
El ángulo opuesto al lado igual a 0 (cero), deberá ser de 0º, pues los lados que lo forman están superpuestos.
Ahora viene lo difícil:
De acuerdo a las propiedades de los triángulos,la suma de los ángulos internos deberá ser igual a 180º.
Entonces los dos ángulos formados por el lado igual a cero y los lados igual a noventa, deberán medir 90º cada uno.
De esta manera, queda demostrado que al lado igual a cero, le corresponde un ángulo opuesto igual a cero.
Y que a los lados igual a noventa, les corresponden ángulos opuestos igual a noventa.
[/spoiler]
Estoy de acuerdo con EnciasJoe:
[spoiler]
Lo que propone IndioSAP es muy original, pero los triángulos deben tener tres lados y el suyo tiene sólo dos. 😛
Intentaremos buscar un triángulo de lados x, y, z (unidades) con ángulos opuestos x, y, z (grados) respectivamente. Para que sea un triángulo las tres variables deberán estar en el intervalo abierto (0,180).
Como es un triángulo debe verificar el Teorema del Seno:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_seno
Por lo tanto, sin(x)/x = sin(y)/y = sin(z)/z.
Fijándonos sólo en la primera igualdad, podemos construir una función f(x,y).
f(x,y) = sin(x)/x – sin(y)/y.
Para que el triángulo exista, «x» e «y» deben ser tales que f(x,y) = 0. Además, la función f es continua en el dominio (0,180)x(0,180) y se puede comprobar que sólo se anula cuando x = y. Una forma poco rigurosa de hacerlo sería pintar la gráfica de R2 a R que manda el par (x,y) a f(x,y) y ver que dicha gráfica sólo vale cero cuando x es igual a y.
Razonando de la misma forma con la segunda igualdad vemos que es necesario que x = y = z y por lo tanto el triángulo debe ser EQUILÁTERO.
[/spoiler]
Un saludo.
IndioSap, cómo te gustan las soluciones canónicas!
Lo que has hecho de pensar un ejemplo extremo suele ser muy buena idea. Yo también había pensado en esa posibilidad, pero llegué a la conclusión de que «eso» no puede ser llamado triángulo…
Desconozco cuál es la definición formal de «triángulo», si es que existe, pero creo que si existiese tal definición, una de sus premisas debería ser que los tres puntos que lo caracterizan (sus extremos) no pueden estar alineados. (en tu caso no solo están alineados sino que dos de ellos son el mismo punto)
Al menos creo que esa sería la definición que más se ajusta a lo que todos entendemos por triángulo. Desconozco si esto es así, a lo mejor los triángulos «degenerados» (como el de tu ejemplo) también son considerados triángulos, no lo sé. Ambas opciones (considerarlos triángulos o no) son igual de legítimas, al final no es más que una cuestión de nomenclatura.
Leyendo estrictamente el enunciado…
[spoiler] Cualquier poligono regular con un número de lados impar cuya longuitud de lado sea equivalente a los grados [/spoiler]
Y que tal un triangulo equilatero de lado 1,0471975511965977461542144610932
[spoiler] Con el criterio de cambio de unidades, usamos el angulo de 60 grados en radianes pi/3 [/spoiler]