Tenemos la función f(x)=x+x+x+…+x (x veces).
Como la derivada de la suma es la suma de las derivadas,
f'(x)=1+1+1+…+1 (x veces).
Y como 1+1+1+…+1 (x veces)=x, f'(x)=x.
Por otro lado f(x)=x+x+x+…+x (x veces)=x*x=x^2.
Como la derivada de x^2 es 2*x, f'(x)=2x.
Es decir, x=2x,
y por tanto 1=2, o 2=4, o 3=6…
¿Dónde está el error?
Acertijo enviado por Mmonchi
[spoiler]
f(x)=x + x + … + x (x veces) está definida SÓLO para valores enteros (de otra manera la expresión no tiene sentido ¿cómo se puede expresar 1/2 veces 1/2 mediante esa suma?)
La derivada se define sobre funciones con un dominio completo. Los enteros no lo son.
[/spoiler]
grang, la función f(x)=x+x+…+x (y veces)=x*y es la base de la definición de multiplicación, 2+2+2+…+2 (7 veces) es 2×7. Pero se puede pasar de multiplicación de enteros a multiplicación de números reales con la misma definición. En tu ejemplo, 1/2 veces 1/2 es 1/4 sin ningún problema. Por eso la función está definida en todo el campo real.
He mirado por ahí la solución. Sinceramente, ha sido después de que se me ocurriera que la función está definida sólo para enteros.
Antes de nada ¿podrías poner un ejemplo de «media vez 1/5» en forma de las bonitas sumas que usamos para definir «veces» con enteros? Creo que te va a ser difícil. La mitad de la mitad tal vez se podría definir como suma de valores en el denominador, pero no como suma de «media vez la mitad». El producto de, por ejemplo, fraccionarios se define de manera que sea compatible con la definición de producto como suma repetida en enteros, pero por fuerza tienen que ser definiciones distintas.
Por ahí lo más que he encontrado es que, para definir «veces cualquier número», suman enteros hasta llegar al mayor entero menor que el número en cuestión y luego le suman lo que falta. Pero eso es una extensión de la definición que vale sólo para enteros (y en ese caso, el cálculo de la derivada no da sorpresas).
El problema es de lenguaje. Decir que has recorrido media vez medio kilómetro es lo mismo que decir que has recorrido un cuarto de kilómetro. Puede ser confuso para describir la realidad, pero matemáticamente tiene sentido.
Pero para no complicarnos más de lo necesario, defino f(x,y)=x+x+…+x (y veces) como la función equivalente al producto x*y. Esa función es continua y derivable porque la función equivalente también lo es.
Fuera de los enteros la defición que das no puede ser equivalente al producto si el significado de la suma es el corriente.
Me gustaría que construyeras 2/3*1/5 con esa definición. Será interesante verlo.
Hago 2/3=10/15. Un quinto de 10/15 son 2/15.
Pero para no complicarnos con las palabras he definido 2/3+2/3+2/3+…+2/3 (1/5 veces) como equivalente a 2/3 * 1/5. Si tienes problemas con el signo + para sumar un número fraccionario de términos, usa la función equivalente y multiplica.
No voy a insistir mucho más. Si las sumas no significan aquí nada más que una notación complicada para el producto, simplemente las reglas de derivación no se aplican. Usamos las reglas de la derivada de la suma sobre algo que no es una suma sino un símbolo que se le parece (y no, no es como he leído por ahí que separan el símbolo en dos y aplican algo parecido a las reglas de la derivación. El símbolo no se puede separar en dos partes, la de la suma de las x’s y el paréntesis (x veces): se define «in Otto» como una notación alternativa del producto)
PS Yo me preguntaba si el, digamos, operador (n veces) tiene rigor lógico (al fin y al cabo lo utilizamos para hacer posible una generalización. Sin duda lo tiene, es equivalente a un sumatorio. Y este se define para enteros (el símbolo de suma se refiere a la suma en lo que digo)
[spoiler]No tiene que ver nada con enteros o reales. La regla de la suma para derivadas es válida si el número de sumandos no depende de una variable, ya que en ese caso hablamos de multiplicación.
El paso donde se obtiene f'(x) = x es incorrecto.
[/spoiler]
Edark, si ese paso es incorrecto, ¿cuál es la forma correcta de hacerlo? 😉
La forma de calcularlo sin recurrir a la notacion del producto:
[spoiler]
Utilizando la definición de derivada:
La derivada en un punto x será el limite cuando h tiende a 0 de (f(x+h) – f(x)) / h
Se obtiene que la derivada es 2x
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Y como se ha dicho antes, no se puede aplicar la regla de derivacion de la suma, ya que el número de elementos que conforman la suma depende de la variable independiente.
Correcto, Edark y Niko. Hay que derivar también la x de (x veces) por lo que hay que recurrir a la definición de derivada. El cálculo completo está aquí, (el símbolo raro
indica incremento).
https://www.dropbox.com/s/vhbmt8s1c5n0qmc/Derivada.bmp?dl=0
Me parece que hay una generalización en la notación; o sea, el escribir en el quinto enunciado que se trata de derivar x^2 en ambos casos (primer y quinto enunciados) es un modo general de considerar la situación, cuando en realidad se trata de un caso específico. Para tratar de explicarlo podríamos reescribir los enunciados pero, ahora sí, con una notación más general en lugar del caso particular que fue mencionado en el quinto enunciado:
Tenemos la función f(x)=x+x+x+…+x (n veces).
Como la derivada de la suma es la suma de las derivadas,
f'(x)=1+1+1+…+1 (n veces).
Y como 1+1+1+…+1 (n veces)=n, f'(x)=n.
Por otro lado f(x)=x+x+x+…+x (n veces)=n*x.
—Ahora, sólo en el caso particular en el que n = x sucedería…—
Como la derivada de x^2 es 2*x, f'(x)=2x.
—De tal modo que no se puede concluir (generalizar) que x = 2x.