Nos dicen que un triángulo rectángulo tiene valores enteros para sus tres lados.
Nos dan 5 posibles resultados del área de ese triángulo.
504 , 505 , 506 , 507 , 508 y 509.
¿Cual es el área correcta?
Sin hacer casi cálculos.
6 comentarios en «Acertijo matemático. triángulo rectángulo»
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[spoiler]
– no puede ser impar, porque es entero y es la mitad del area de un rectangulo
– en plan rápido, se que la relación entre los catetos e hipotenusa será 3,4 y 5, y como la mitad de 3 por 4 es 6 pues supondré que siempre termina en 6
Quizás no sea correcto pero, así en plan rápido, esa es mi propuesta.
[/spoiler]
El 6 es la clave , sí , pero no porque termine en 6
Saludos,
Genial acertijo, Jose.
Pensando acerca de él he descubierto propiedades de las ternas pìtagóricas que desconocía por completo.
Ahí va la solución: [spoiler] 504 [/spoiler] y aquí la explicación: [spoiler]
Tenemos un triángulo rectángulo (a,b,c), donde a y b son los catetos y c la hipotenusa.
Sabemos que a,b,c son enteros.
Como el triángulo es rectángulo: a^2+b^2=c^2
Los números (a,b,c) que cumplen esta propiedad son conocidos como ternas pitagóricas.
Pues bien:
Propiedad1.- «En toda terna pitagórica (a,b,c), a ó b son múltiplos 3» o dicho de otro modo: «En todo triángulo equilátero de lados enteros, uno de sus catetos es múltiplo de 3» [spoiler] Demostración:
Dividimos el conjunto Z de los números enteros en tres subconjuntos:
3Z: Los enteros que al dividirlos entre 3 el resto da 0 […0,3,6…]
3Z+1: Los enteros que al dividirlos entre 3 el resto da 1 […1,4,7…]
3Z+2: Los enteros que al dividirlos entre 3 el resto da 2 […2,5,8…]
Cualquier entero n pertenece a uno y sólo uno de estos tres conjuntos.
Sucede que un cuadrado perfecto sólo puede pertenecer a los dos primeros conjuntos (3Z y 3Z+1), nunca a 3Z+2
(la demostración de esto último es bastante simple, queda como ejercicio para el que quiera hacerlo)
Supongamos ahora que tanto a^2 como b^2 pertenecen a 3Z+1
Entonces a^2+b^2 pertenecería a 3Z+2
Pero a^2+b^2 es c^2, que es un cuadrado perfecto, y como tal no puede pertenecer a 3Z+2
Por lo tanto no puede ser cierto que tanto a^2 como b^2 pertenecen a 3Z+1
Así que al menos uno de los dos (a^2 ó b^2) pertenece a 3Z
Esto quiere decir que a ó b pertenecen a 3Z (al menos uno de los dos)
Pertenecer a 3Z significa ser múltiplo de 3, así que acabamos de demostrar que al menos uno de los dos catetos es múltiplo de 3. [/spoiler]
Propiedad2.- «En toda terna pitagórica (a,b,c), a ó b son múltiplos 4» o dicho de otro modo: «En todo triángulo equilátero de lados enteros, uno de sus catetos es múltiplo de 4»
(El cateto que es múltiplo de 3 y el que es múltiplo de 4 pueden ser distintos o ser el mismo) [spoiler] Demostración:
Dividimos el conjunto Z de los números enteros en cuatro subconjuntos:
4Z: Los enteros que al dividirlos entre 4 el resto da 0 […0,4,8…]
4Z+1: Los enteros que al dividirlos entre 4 el resto da 1 […1,5,9…]
4Z+2: Los enteros que al dividirlos entre 4 el resto da 2 […2,6,10…]
4Z+3: Los enteros que al dividirlos entre 4 el resto da 3 […3,7,11…]
Cualquier entero n pertenece a uno y sólo uno de estos cuatro conjuntos.
Sucede que un cuadrado perfecto sólo puede pertenecer a los dos primeros conjuntos (4Z y 4Z+1), nunca a 4Z+2 ni a 4Z+3
(la demostración de esto último es bastante simple, queda como ejercicio para el que quiera hacerlo)
Supongamos que tanto a^2 como b^2 pertenecen a 4Z+1
Entonces a^2+b^2 pertenecería a 4Z+2
Pero a^2+b^2 es c^2, que es un cuadrado perfecto, y como tal no puede pertenecer a 4Z+2
Por lo tanto no puede ser cierto que tanto a^2 como b^2 pertenecen a 4Z+1
Así que al menos uno de los dos (a^2 ó b^2) pertenece a 4Z
Esto quiere decir que a ó b pertenecen a 4Z (al menos uno de los dos)
Pertenecer a 4Z significa ser múltiplo de 4, así que acabamos de demostrar que al menos uno de los dos catetos es múltiplo de 4. [/spoiler]
Pues bien, sabemos que el área del triángulo es ab/2
Como a ó b es múltiplos de 3, entonces ab es múltiplo de 3
Como a ó b es múltiplo de 4, entonces ab es múltiplo de 4
Cómo ab es múltiplo de 3 y de 4, entonces ab es múltiplo de 12
Cómo ab es múltiplo de 12, entonces ab/2 es múltiplo de 6
El área del triángulo es ab/2, por lo tanto es múltiplo de 6
La única posibilidad de las que nos dan que sea múltiplo de 6 es 504
Para resolver el problema no necesitamos saber el valor de los lados, es decir, de qué terna pitagórica se trata, pero si os pica la curiosidad, sería esta: [spoiler] (16,63,65) [/spoiler]
[/spoiler]
Perdón, me he liado con el spoiler, A continuación lo vuelvo a pegar corregido:
Saludos,
Genial acertijo, Jose.
Pensando acerca de él he descubierto propiedades de las ternas pìtagóricas que desconocía por completo.
Ahí va la solución: [spoiler] 504 [/spoiler] y aquí la explicación: [spoiler]
Tenemos un triángulo rectángulo (a,b,c), donde a y b son los catetos y c la hipotenusa.
Sabemos que a,b,c son enteros.
Como el triángulo es rectángulo: a^2+b^2=c^2
Los números (a,b,c) que cumplen esta propiedad son conocidos como ternas pitagóricas.
Pues bien:
Propiedad1.- «En toda terna pitagórica (a,b,c), a ó b son múltiplos 3» o dicho de otro modo: «En todo triángulo equilátero de lados enteros, uno de sus catetos es múltiplo de 3»
Propiedad2.- «En toda terna pitagórica (a,b,c), a ó b son múltiplos 4» o dicho de otro modo: «En todo triángulo equilátero de lados enteros, uno de sus catetos es múltiplo de 4»
(El cateto que es múltiplo de 3 y el que es múltiplo de 4 pueden ser distintos o ser el mismo)
Pues bien, sabemos que el área del triángulo es ab/2
Como a ó b es múltiplos de 3, entonces ab es múltiplo de 3
Como a ó b es múltiplo de 4, entonces ab es múltiplo de 4
Cómo ab es múltiplo de 3 y de 4, entonces ab es múltiplo de 12
Cómo ab es múltiplo de 12, entonces ab/2 es múltiplo de 6
El área del triángulo es ab/2, por lo tanto es múltiplo de 6
La única posibilidad de las que nos dan que sea múltiplo de 6 es 504
Para resolver el problema no necesitamos saber el valor de los lados, es decir, de qué terna pitagórica se trata, pero si os pica la curiosidad, sería esta: [spoiler] (16,63,65) [/spoiler]
[/spoiler]
Demostración de la propiedad 1: [spoiler] Dividimos el conjunto Z de los números enteros en tres subconjuntos:
3Z: Los enteros que al dividirlos entre 3 el resto da 0 […0,3,6…]
3Z+1: Los enteros que al dividirlos entre 3 el resto da 1 […1,4,7…]
3Z+2: Los enteros que al dividirlos entre 3 el resto da 2 […2,5,8…]
Cualquier entero n pertenece a uno y sólo uno de estos tres conjuntos.
Sucede que un cuadrado perfecto sólo puede pertenecer a los dos primeros conjuntos (3Z y 3Z+1), nunca a 3Z+2
(la demostración de esto último es bastante simple, queda como ejercicio para el que quiera hacerlo)
Supongamos ahora que tanto a^2 como b^2 pertenecen a 3Z+1
Entonces a^2+b^2 pertenecería a 3Z+2
Pero a^2+b^2 es c^2, que es un cuadrado perfecto, y como tal no puede pertenecer a 3Z+2
Por lo tanto no puede ser cierto que tanto a^2 como b^2 pertenecen a 3Z+1
Así que al menos uno de los dos (a^2 ó b^2) pertenece a 3Z
Esto quiere decir que a ó b pertenecen a 3Z (al menos uno de los dos)
Pertenecer a 3Z significa ser múltiplo de 3, así que acabamos de demostrar que al menos uno de los dos catetos es múltiplo de 3. [/spoiler]
Demostración de la propiedad 2: [spoiler] Dividimos el conjunto Z de los números enteros en cuatro subconjuntos:
4Z: Los enteros que al dividirlos entre 4 el resto da 0 […0,4,8…]
4Z+1: Los enteros que al dividirlos entre 4 el resto da 1 […1,5,9…]
4Z+2: Los enteros que al dividirlos entre 4 el resto da 2 […2,6,10…]
4Z+3: Los enteros que al dividirlos entre 4 el resto da 3 […3,7,11…]
Cualquier entero n pertenece a uno y sólo uno de estos cuatro conjuntos.
Sucede que un cuadrado perfecto sólo puede pertenecer a los dos primeros conjuntos (4Z y 4Z+1), nunca a 4Z+2 ni a 4Z+3
(la demostración de esto último es bastante simple, queda como ejercicio para el que quiera hacerlo)
Supongamos que tanto a^2 como b^2 pertenecen a 4Z+1
Entonces a^2+b^2 pertenecería a 4Z+2
Pero a^2+b^2 es c^2, que es un cuadrado perfecto, y como tal no puede pertenecer a 4Z+2
Por lo tanto no puede ser cierto que tanto a^2 como b^2 pertenecen a 4Z+1
Así que al menos uno de los dos (a^2 ó b^2) pertenece a 4Z
Esto quiere decir que a ó b pertenecen a 4Z (al menos uno de los dos)
Pertenecer a 4Z significa ser múltiplo de 4, así que acabamos de demostrar que al menos uno de los dos catetos es múltiplo de 4. [/spoiler]
Perfecto EnciasJoe.
Como demuestras , en estos casos el área siepre es un multiplo de 6.
Uf , viendo el título del acertijo veo que puse equilátero por rectángulo , aunque en el enunciado está bien. Lo corrijo.