Un octógono regular se inscribe en el interior de un cuadrado. Otro cuadrado se inscribe en el interior del octógono.
Cuál es la relación de áreas entre los 2 cuadrados?
3 comentarios en «Cuadrado en un cuadrado»
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Un octógono regular se inscribe en el interior de un cuadrado. Otro cuadrado se inscribe en el interior del octógono.
Cuál es la relación de áreas entre los 2 cuadrados?
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[spoiler]Esto seguro que es la mitad, o el doble, según se mire.
A ver si viene alguien y lo demuestra, yo estoy de puente y no tengo tiempo.[/spoiler]
[spoiler]
Si no me equivoco, la relación es, como ha dicho antes rojo merlin, el doble:
Me fijo en el lado de abajo del todo, el lado del cuadrado grande, está formado por un lado del octógono y los segmentos de las esquinas. Si a los segmentos de las esquinas les doy una unidad de medida, el lado del octógono sería raíz de 2 (Pitágoras en la esquina).
Así que el lado grande es 2 + raíz de 2. Por otro ‘lado’, el lado chico sería el lado grande menos dos veces media unidad, es decir, lado grande -1, lo que nos queda que lado chico = 1 + raíz de 2.
Elevamos al cuadrado y partimos por dos, para descubrir que nos queda, si partimos el área del chico por la del grande:
[3 + 2sqrt(2)]/[6 + 4sqrt(2)] = 1/2
[/spoiler]
Efectivamente es la respuesta que ya han dado pero tengo una explicación más simple y bonita:
[spoiler]Ya que el octógono es regular, lo podemos considerar como el resultado de superponer dos cuadrados iguales rotados 45 grados uno con el otro. El cuadrado grande original es uno, y el otro se obtendría prolongando los lados en diagonal del octógono. Y así pues ya que el cuadrado interior en rojo sería el resultado de unir los puntos medios de los lados de este nuevo cuadrado su área es la mitad, y por tanto también la mitad del cuadrado original.[/spoiler]
No se si se entiende bien.