-He encontrado una lista con todos los números cuadrados cuyos dígitos son todos impares.
-¿Es muy larga?
-No.
¿Cuántos números cuadrados hay cuyos dígitos son todos impares?
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Es posible que solo sean el 1 y el 3?
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Muy interesante! Solo son
[spoiler] 1 y 9, los cuadrados de 1 y 3. [/spoiler]
Porque?
[spoiler](a) Esta claro que el numero N que elevas al cuadrado tiene que terminar con un digito impar: 1, 3, 5, 7 o 9. (b) Si N tiene solo uno digito, checamos que los cuadrados de 5, 7, y 9 tienen un digito par; solo 1 y 3 cumplen con las reglas. (c) Si N tiene mas que uno digito y cumple con las reglas, se puede escribir N=10a+b (con b=1,3,5,7 o 9). Luego N²=100a²+20ab+b². Entonces el digito de las decenas de N² esta igual a el digito de las decenas de b² + el digito de las unidades de 2ab (que es par, por supuesto). Por lo tanto, la paridad del digito de las decenas de N² es la misma que la paridad del digito de las decenas de b². Pero b² = 1, 9, 25, 49 o 81 entonces en cualquier caso el digito de las decenas es par. Asi que no es posible que N tiene mas que uno digito.[/spoiler]
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Dos: El 1 y el 9.
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Buscamos un número que elevado al cuadrado todas sus cifras sean impares.
Si el número es par, su última cifra es par, y por lo tanto la última cifra de su cuadrado también será par. Así que los pares quedan todos descartados.
Sólo nos quedan los impares.
Existe algún impar que al elevarlo al cuadrado todas sus cifras sean impares??
El 1 cumple la propiedad, y el 3 también. Pero existe alguno más?
NO, NO EXISTE.
Por qué?
Por lo siguiente:
CUALQUIER NÚMERO IMPAR ELEVADO AL CUADRADO, SU PENÚLTIMO CIFRA (DECENAS) ES PAR.
(el 1 y el 3 «se salvan» porque a pesar de que su cifra de decenas es 0, que es par, no la tenemos en cuenta al no haber más cifras a la izquierda)
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Demostración (por inducción):
Sea N un número impar.
Demostraremos que:
«Si la cifra de decenas de N^2 es par, entonces la cifra de decenas de (N+10)^2 también es par»
Dem:
(N+10)^2=N^2+20*N+100
N^2: decenas PAR, unidades IMPAR
20*N: decenas PAR, unidades 0
100: decenas 0, unidades 0
Por lo tanto:
N^2+20*N+100: decenas PAR, unidades impar
Esto significa que si un número que acaba en N cumple la propiedad de que la cifra de las decenas de su cuadrado es par, entonces todos los siguientes números que acaban en N también cumplirán esa propiedad.
El 1 cumple esa propiedad, ya que 1^2=1. (la cifra de decenas de 1 es 0, que es par)
Por lo tanto todos los números que acaban en 1 también la cumplen.
El 3 cumple esa propiedad, ya que 3^2=9
Por lo tanto todos los números que acaban en 3 también la cumplen.
El 5 cumple esa propiedad, ya que 5^2=25
Por lo tanto todos los números que acaban en 5 también la cumplen.
El 7 cumple esa propiedad, ya que 7^2=49
Por lo tanto todos los números que acaban en 7 también la cumplen.
El 9 cumple esa propiedad, ya que 9^2=81
Por lo tanto todos los números que acaban en 9 también la cumplen.
Queda demostrado que todos los números impares elevados al cuadrado su cifra de decenas es par.
Por lo tanto NO EXISTE NINGÚN NÚMERO QUE ELEVADO AL CUADRADO TODAS SUS CIFRAS SEAN IMPARES.
(a excepción del 1 y el 3, cuyos cuadrados no tienen cifra de decenas)
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