Acertijo geometrico. Las mini pizzas


Este es un acertijo de geometria.

Noemí empezó en su pueblo un negocio de minipizzas , y todas sus pizzas eran perfectamente redondas y con un diametro de 12 cm. Estas pizzas eran empaquetadas en unas cajas cuadradas de carton especiales en las que encajaban perfectamente (12 cm. de lado)

Un dia le pidieron a Noemí una pizza algo diferente en tamaño , que fuese un poco mas grande, ella accedió , pero debia ir en las cajas de pizzas habituales , por lo que cocino una pizza de un tamaño , tal que al cortarla en 2 por la mitad , pudo encajar cada mitad en una caja perfectamente.Si la hubiera hecho un poco mas grande , no habría podido meter las mitades en las cajas.

¿Cual es el diametro de la pizza que hizo Noemí?

Nota: Es un problema geometrico en el plano , sin trucos, , en los tamaños no se tiene en cuenta el espesor de la pizza ni la altura de la caja, es decir no se considera la posibilidad de inclinar la pizza , ni , por supuesto las cajas son un cubo de 12cm. 😉

Actualizado: Esquema solucion

Solucion muy bien razonada en comentarios por varios de vosotros.

Sobre el autor

Jose Jose Acertijo

19
Si quieres ocultar una solución, utiliza el spoiler: [spoiler] aquí tu solución[/spoiler]

avatar
19 Comment threads
0 Thread replies
0 Followers
 
Comentario con más reacciones
Hottest comment thread
2 Comentario del autor
Mario ValenzuelaerickmauriciorocioDarío Recent comment authors
  Subscribe  
Actuales Antiguos Más votado
Notify of
Raider
Guest
Raider

Si debe ser redonda?

Podria considerarse que la pizza es cuadrada de 24×12.

Si debe ser redonda. se puede hacer una pizza de diametro 7 cm y poniendo el diametro de la pizza paralelo a la diagonal de la caja. La solucion la he encontrado experimentalmente con un programa de dibujo, la demostracion teorica está en proceso de elaboracion (no tengo ni jota de porqué es XD.

Aqui la solucion encontrada

Jose
Guest
Jose

La pizza debe ser redonda.
La idea , Raider , es hacerla lo mas grande posible , y que cada mitad quepa en una caja.

Jose
Guest
Jose

raider , no habia visto tu solucion grafica; básicamente es correcta , pero como dices , esta hecha con un programa de dibujo y es una aproximacion(muy buena) , la solucion exacta es un poco mas de 14 cm , y el reto es calcularlo…:)

luzbell
Guest
luzbell

Bueno, allá voy:
La recta que contiene al diámetro (en esa que raider pone 14) tendrá la ecuación, suponiendo centro en (a,a):
y = 2a – x
Sabiendo que la caja está limitada por las rectas:
y = 0; y = 12; x = 0; x = 12
el diámetro de las pizzas cortará con el borde x=12 (p.ej.) en:
x = 12
y = 2a – 12
Sustituimos en la ecuación de una pizza (digo de una circunferencia) de centro (a,a) y radio ‘r’:
(x-a)^2+(y-a)^2=r^2
(12-a)^2+(2a-12-a)^2=r^2
(12-a)^2+(a-12)^2=r^2
2*(a-12)^2=r^2 (al estar al cuadrado se puede invertir el signo)
Como el radio nunca podrá ser mayor que la distancia del centro de la pizza al borde más alejado (distancia ‘a’), hacemos que ‘r’ sea menor que ‘a’, y para despejar, r=a, que será la pizza de mayor tamaño:
r^2=2*(a-12)^2
a^2=2*(a-12)^2
a^2=2*(a^2-24a+144)
a^2=2a^2-48a+288
a^2-48a+288=0
Cuyas soluciones son:
a1=40.9706 (demasiado grande), y
a2=7.0294

Por lo que el diámetro de la pizza buscado es 14.06cm.

Acido
Guest
Acido

luzbell, una resolución muy buena.

Con la intención de simplificar un poquito más, sugeriría que al final no se pasase por una ecuación de segundo grado:

a^2=2*(a-12)^2

Soluciones:
a1 = sqr(2)*(a1-12)
a1 = 12*sqr(2)/(sqr(2)-1)
a2 = sqr(2)*(12-a1)
a2 = 12*sqr(2)/(sqr(2)+1)

El menor valor es a2
(multiplicando por sqr(2)-1)
a2 = 12*sqr(2)*(sqr(2)-1)

a2 = 24 – 12*sqr(2)

Acido
Guest
Acido

Creo que es interesante notar también que el radio de la nueva Pizza puede obtenerse restando el doble de un lado (24) y una diagonal ( 12*sqr(2) )

luzbell
Guest
luzbell

Gracias, acido.
Cuando eliminé los cuadrados me dio la solución 40 (porque tenía dentro del paréntesis ‘a-12′) por lo que preferí resolverlo sin simplificaciones. Si dentro del paréntesis hubiese dejado ’12-a’ (en función del cuadrado daría igual) se habría llegado a la solución correcta.
a^2=2*(a-12)^2
a^2=2*(12-a)^2
a=sqrt(2)*(12-a)
a*(1+sqrt(2))=12*sqrt(2)
a=[12*sqrt(2)]/[1+sqrt(2)]
a=7.0294

muri
Guest
muri

yo creo que es más facil. como la pizza se parte al medio, el diametro de la pizza debe ser la hipotenusa de la caja tomando por catetos 12 cms… no he hecho cuentas, pero creo que es lo mayor que puede ser la pizza

Acido
Guest
Acido

No muri, lo que tú dices es el mayor diámetro que cabe en un cuadrado… pero lamentablemente, ese semicírculo no encaja en el cuadrado.

Darío
Guest
Darío

Usando relaciones geométricas sencillas es posible
demostrar lo siguiente, considerando que la
circunferencia (la pizza) tiene un diámetro igual que 2r
y que el lado de la caja que contiene a su mitad mide
igual que 12 cm:

r · (1 + (√2) – [1/(√2)]) = 12

Por lo tanto r = 7.029437252 cm

y entonces 2r = 14.0588745 cm

La relación anterior deriva de imaginar una caja
nueva más grande capaz de contener a la pizza nueva (y no sólo
a la mitad de ésta) cuyo lado obviamente medirá C = 2r. A su vez,
contemplando una caja más pequeña capaz de inscribir un cuadrado dentro
de la pizza nueva, el lado de esta caja pequeña será c = r(√2).
Y dado que la caja con la que se cuenta (la original de 12 cm
por lado) es construida sumando el lado de la caja pequeña
más la mitad de la diferencia entre el lado de la caja grande
y el lado de la caja pequeña, es decir:

12 = c + [(C – c)/2]

Es posible sustituir del siguiente modo:

12 = r(√2) + ([2r – r(√2)]/2)

12 = r {(√2) + ([2 – (√2)]/2)}

12 = r · ((√2) + 1 – [1/(√2)])

Que es la relación inicialmente propuesta

Darío
Guest
Darío

Perdón, en mi comentario
consideré excesivo tener que escribir que la utilidad de imaginar una caja pequeña, dentro de la pizza, radica en que la diagonal de dicha caja tiene una longitud igual que el diámetro de la pizza.

Pero en fin, aquí está

Acido
Guest
Acido

Interesante Darío, tu camino es otra forma de llegar, y tiene la ventaja de que se puede visualizar de forma bastante fácil, aparte de que no necesita ecuaciones con términos elevados al cuadrado sino que eso se sustituye por saber que la diagonal es √2·lado
y con eso se llega a una ecuación sencillita.

Si se despeja r y se expresa de la forma más simple, se acaba llegando al mismo resultado de antes.

r = 12 / (1 + (√2) – [1/(√2)]) =

= 12 / ( (√2 +2 -1 )/(√2) ) =
= 12·(√2) / (√2 + 1)

que coincide con la a2 que aparece arriba.

(multiplicando por (√2 – 1))
a2 = 12 · √2 ·(√2 – 1)

a2 = 24 – 12·√2

Darío
Guest
Darío

Así es Acido, en efecto, es possible llegar a la misma expresión.
Lo que me resulta más interesante de suponer la caja pequeña
es que si se rearregla la relación:

r · (1 + (√2) – [1/(√2)]) = 12

Para obtenerla de la siguiente forma:

r {[(√2) + 1]/ (√2)} = 12

Es posible ver lo siguiente:

12(√2) = r (√2) + r

Esto es, la diagonal de la caja original es igual que el lado de la
caja pequeña más el radio de la circunferencia que contiene a esta última. Lo cual es bastante útil y es lo que complementa tu comentario acerca de que se puede obtener el radio a partir del doble de un lado y una diagonal

Acido
Guest
Acido

Genial Darío,
Con tu último comentario, me he dado cuenta que el problema tiene una solución casi inmediata, si miramos la imagen de raider…
comment image

Basta fijarse un poco tomando como referencia el centro de la semicircunferencia. Podemos darnos cuenta de lo siguiente: la semicircunferencia está en una posición simétrica respecto a una diagonal. Trazando esta diagonal que es eje de simetría, el cruce con el diámetro es el centro (de la semicircunferencia). La distancia desde ese centro a la esquina superior derecha es r (si doblamos el triángulo rojo, tomando como eje el diámetro, la esquina superior derecha caería justo en la semicircunferencia).

Y la distancia a la esquina inferior izquierda es r·√2
(es como si hubiese otra «caja pequena» de igual tamaño pero desplazada toda a la izquierda y abajo… en esa caja las esquinas son los puntos de tangencia de la semipizza con la caja grande, así como la esquina inferior izquierda y el centro de la semipizza)

Y sumando los segmentos anteriores tenemos la diagonal completa: 12·√2

r + r·√2 = 12·√2

Que es lo que dijiste tú:
«la diagonal de la caja original es igual que el lado de la
caja pequeña más el radio de la circunferencia que contiene a esta última»

Jose
Guest
Jose

Actualizo el post y pongo una imagen que creo representa bien el excelente comentario de Darío.

rocio
Guest
rocio

Se toma como punto de referencia los lados de la caja como puntos tangentes del nuevo circulo. El centro de la nueva pizza dista del centro inicial la misma medida que lo que el cliente quiere incrementar en el diametro. Asi sale en un grafico geometrico una nueva pizza de 13.98 cm de diametro como maximo dividida en dos cajas.

mauricio
Guest
mauricio

ps esk
creo k
24
pork yo dividi pes entre gato

erick
Guest
erick

ps ala verga la respuesta es pudin y ala verga xD

Mario Valenzuela
Guest
Mario Valenzuela

Es facil, el area que ocupa cada caja es 144 cm^2, por lo que en dos caja se debe ocupar 288 cm^2, el area de una circunferencia es pi * r^2, por lo que al dividir esa a rea entre pi y sacar la raiz obtenemos el radio de 9.5746 aprox., al duplicarlo el diametro de esa pizza es de 19.1492.