Acertijo geometrico. Las mini pizzas


Este es un acertijo de geometria.

Noemí empezó en su pueblo un negocio de minipizzas , y todas sus pizzas eran perfectamente redondas y con un diametro de 12 cm. Estas pizzas eran empaquetadas en unas cajas cuadradas de carton especiales en las que encajaban perfectamente (12 cm. de lado)

Un dia le pidieron a Noemí una pizza algo diferente en tamaño , que fuese un poco mas grande, ella accedió , pero debia ir en las cajas de pizzas habituales , por lo que cocino una pizza de un tamaño , tal que al cortarla en 2 por la mitad , pudo encajar cada mitad en una caja perfectamente.Si la hubiera hecho un poco mas grande , no habría podido meter las mitades en las cajas.

¿Cual es el diametro de la pizza que hizo Noemí?

Nota: Es un problema geometrico en el plano , sin trucos, , en los tamaños no se tiene en cuenta el espesor de la pizza ni la altura de la caja, es decir no se considera la posibilidad de inclinar la pizza , ni , por supuesto las cajas son un cubo de 12cm. 😉

Actualizado: Esquema solucion

Solucion muy bien razonada en comentarios por varios de vosotros.

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Jose Jose Acertijo

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Raider
Raider
12 años hace

Si debe ser redonda?

Podria considerarse que la pizza es cuadrada de 24×12.

Si debe ser redonda. se puede hacer una pizza de diametro 7 cm y poniendo el diametro de la pizza paralelo a la diagonal de la caja. La solucion la he encontrado experimentalmente con un programa de dibujo, la demostracion teorica está en proceso de elaboracion (no tengo ni jota de porqué es XD.

Aqui la solucion encontrada

Jose
Jose
12 años hace

La pizza debe ser redonda.
La idea , Raider , es hacerla lo mas grande posible , y que cada mitad quepa en una caja.

Jose
Jose
12 años hace

raider , no habia visto tu solucion grafica; básicamente es correcta , pero como dices , esta hecha con un programa de dibujo y es una aproximacion(muy buena) , la solucion exacta es un poco mas de 14 cm , y el reto es calcularlo…:)

luzbell
luzbell
12 años hace

Bueno, allá voy:
La recta que contiene al diámetro (en esa que raider pone 14) tendrá la ecuación, suponiendo centro en (a,a):
y = 2a – x
Sabiendo que la caja está limitada por las rectas:
y = 0; y = 12; x = 0; x = 12
el diámetro de las pizzas cortará con el borde x=12 (p.ej.) en:
x = 12
y = 2a – 12
Sustituimos en la ecuación de una pizza (digo de una circunferencia) de centro (a,a) y radio ‘r’:
(x-a)^2+(y-a)^2=r^2
(12-a)^2+(2a-12-a)^2=r^2
(12-a)^2+(a-12)^2=r^2
2*(a-12)^2=r^2 (al estar al cuadrado se puede invertir el signo)
Como el radio nunca podrá ser mayor que la distancia del centro de la pizza al borde más alejado (distancia ‘a’), hacemos que ‘r’ sea menor que ‘a’, y para despejar, r=a, que será la pizza de mayor tamaño:
r^2=2*(a-12)^2
a^2=2*(a-12)^2
a^2=2*(a^2-24a+144)
a^2=2a^2-48a+288
a^2-48a+288=0
Cuyas soluciones son:
a1=40.9706 (demasiado grande), y
a2=7.0294

Por lo que el diámetro de la pizza buscado es 14.06cm.

Acido
Acido
12 años hace

luzbell, una resolución muy buena.

Con la intención de simplificar un poquito más, sugeriría que al final no se pasase por una ecuación de segundo grado:

a^2=2*(a-12)^2

Soluciones:
a1 = sqr(2)*(a1-12)
a1 = 12*sqr(2)/(sqr(2)-1)
a2 = sqr(2)*(12-a1)
a2 = 12*sqr(2)/(sqr(2)+1)

El menor valor es a2
(multiplicando por sqr(2)-1)
a2 = 12*sqr(2)*(sqr(2)-1)

a2 = 24 – 12*sqr(2)

Acido
Acido
12 años hace

Creo que es interesante notar también que el radio de la nueva Pizza puede obtenerse restando el doble de un lado (24) y una diagonal ( 12*sqr(2) )

luzbell
luzbell
12 años hace

Gracias, acido.
Cuando eliminé los cuadrados me dio la solución 40 (porque tenía dentro del paréntesis ‘a-12′) por lo que preferí resolverlo sin simplificaciones. Si dentro del paréntesis hubiese dejado ’12-a’ (en función del cuadrado daría igual) se habría llegado a la solución correcta.
a^2=2*(a-12)^2
a^2=2*(12-a)^2
a=sqrt(2)*(12-a)
a*(1+sqrt(2))=12*sqrt(2)
a=[12*sqrt(2)]/[1+sqrt(2)]
a=7.0294

muri
muri
12 años hace

yo creo que es más facil. como la pizza se parte al medio, el diametro de la pizza debe ser la hipotenusa de la caja tomando por catetos 12 cms… no he hecho cuentas, pero creo que es lo mayor que puede ser la pizza

Acido
Acido
12 años hace

No muri, lo que tú dices es el mayor diámetro que cabe en un cuadrado… pero lamentablemente, ese semicírculo no encaja en el cuadrado.

Darío
Darío
12 años hace

Usando relaciones geométricas sencillas es posible
demostrar lo siguiente, considerando que la
circunferencia (la pizza) tiene un diámetro igual que 2r
y que el lado de la caja que contiene a su mitad mide
igual que 12 cm:

r · (1 + (√2) – [1/(√2)]) = 12

Por lo tanto r = 7.029437252 cm

y entonces 2r = 14.0588745 cm

La relación anterior deriva de imaginar una caja
nueva más grande capaz de contener a la pizza nueva (y no sólo
a la mitad de ésta) cuyo lado obviamente medirá C = 2r. A su vez,
contemplando una caja más pequeña capaz de inscribir un cuadrado dentro
de la pizza nueva, el lado de esta caja pequeña será c = r(√2).
Y dado que la caja con la que se cuenta (la original de 12 cm
por lado) es construida sumando el lado de la caja pequeña
más la mitad de la diferencia entre el lado de la caja grande
y el lado de la caja pequeña, es decir:

12 = c + [(C – c)/2]

Es posible sustituir del siguiente modo:

12 = r(√2) + ([2r – r(√2)]/2)

12 = r {(√2) + ([2 – (√2)]/2)}

12 = r · ((√2) + 1 – [1/(√2)])

Que es la relación inicialmente propuesta

Darío
Darío
12 años hace

Perdón, en mi comentario
consideré excesivo tener que escribir que la utilidad de imaginar una caja pequeña, dentro de la pizza, radica en que la diagonal de dicha caja tiene una longitud igual que el diámetro de la pizza.

Pero en fin, aquí está

Acido
Acido
12 años hace

Interesante Darío, tu camino es otra forma de llegar, y tiene la ventaja de que se puede visualizar de forma bastante fácil, aparte de que no necesita ecuaciones con términos elevados al cuadrado sino que eso se sustituye por saber que la diagonal es √2·lado
y con eso se llega a una ecuación sencillita.

Si se despeja r y se expresa de la forma más simple, se acaba llegando al mismo resultado de antes.

r = 12 / (1 + (√2) – [1/(√2)]) =

= 12 / ( (√2 +2 -1 )/(√2) ) =
= 12·(√2) / (√2 + 1)

que coincide con la a2 que aparece arriba.

(multiplicando por (√2 – 1))
a2 = 12 · √2 ·(√2 – 1)

a2 = 24 – 12·√2

Darío
Darío
12 años hace

Así es Acido, en efecto, es possible llegar a la misma expresión.
Lo que me resulta más interesante de suponer la caja pequeña
es que si se rearregla la relación:

r · (1 + (√2) – [1/(√2)]) = 12

Para obtenerla de la siguiente forma:

r {[(√2) + 1]/ (√2)} = 12

Es posible ver lo siguiente:

12(√2) = r (√2) + r

Esto es, la diagonal de la caja original es igual que el lado de la
caja pequeña más el radio de la circunferencia que contiene a esta última. Lo cual es bastante útil y es lo que complementa tu comentario acerca de que se puede obtener el radio a partir del doble de un lado y una diagonal

Acido
Acido
12 años hace

Genial Darío,
Con tu último comentario, me he dado cuenta que el problema tiene una solución casi inmediata, si miramos la imagen de raider…
comment image

Basta fijarse un poco tomando como referencia el centro de la semicircunferencia. Podemos darnos cuenta de lo siguiente: la semicircunferencia está en una posición simétrica respecto a una diagonal. Trazando esta diagonal que es eje de simetría, el cruce con el diámetro es el centro (de la semicircunferencia). La distancia desde ese centro a la esquina superior derecha es r (si doblamos el triángulo rojo, tomando como eje el diámetro, la esquina superior derecha caería justo en la semicircunferencia).

Y la distancia a la esquina inferior izquierda es r·√2
(es como si hubiese otra «caja pequena» de igual tamaño pero desplazada toda a la izquierda y abajo… en esa caja las esquinas son los puntos de tangencia de la semipizza con la caja grande, así como la esquina inferior izquierda y el centro de la semipizza)

Y sumando los segmentos anteriores tenemos la diagonal completa: 12·√2

r + r·√2 = 12·√2

Que es lo que dijiste tú:
«la diagonal de la caja original es igual que el lado de la
caja pequeña más el radio de la circunferencia que contiene a esta última»

Jose
Jose
12 años hace

Actualizo el post y pongo una imagen que creo representa bien el excelente comentario de Darío.

rocio
rocio
12 años hace

Se toma como punto de referencia los lados de la caja como puntos tangentes del nuevo circulo. El centro de la nueva pizza dista del centro inicial la misma medida que lo que el cliente quiere incrementar en el diametro. Asi sale en un grafico geometrico una nueva pizza de 13.98 cm de diametro como maximo dividida en dos cajas.

mauricio
mauricio
11 años hace

ps esk
creo k
24
pork yo dividi pes entre gato

erick
erick
10 años hace

ps ala verga la respuesta es pudin y ala verga xD

Mario Valenzuela
Mario Valenzuela
2 años hace

Es facil, el area que ocupa cada caja es 144 cm^2, por lo que en dos caja se debe ocupar 288 cm^2, el area de una circunferencia es pi * r^2, por lo que al dividir esa a rea entre pi y sacar la raiz obtenemos el radio de 9.5746 aprox., al duplicarlo el diametro de esa pizza es de 19.1492.