3 hombres y sus respectivas mujeres van a un mercado a comprar fruta; ellos se llaman Hilario , Carlos y Enrique, y las mujeres , Gertrudis , Ana y Catalina , pero no en ese orden son las parejas , es decir , no sabemos quien es el marido de cada mujer.
Compran tantas frutas (diferentes tipos) como los «escudos» que pagan por cada una.
Cada hombre gasta 3 «soles» más que su respectiva mujer.
Enrique compró 23 frutas mas que Gertrudis , y Carlos compró 11 más que Catalina.
¿Cómo están emparejados cada hombre y mujer?
Nota: Un «sol» son 21 «escudos»
Nota: Es un problema puramente matemático ( y dificil , me parece mí) , no hay trucos ni engaños.
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Las parejas son:
¿Cómo lo he calculado?
Hay que fijarse en la condicón del enunciado que dice que «compran tantas frutas como los escudos que pagan por cada una». Esto da lugar a que el número de escudos pagados por una persona debe ser un cuadrado perfecto. De esta forma,
Sea ‘x’ el número de frutas que compra uno de los maridos.
Sea ‘y’ el número de frutas que compra su correspondiente mujer.
Sea ‘a’ la diferencia de frutas (x-y).
Vamos a establecer un sistema de ecuaciones. La primera ecuación es muy sencilla: ‘x = a + y’.
La segunda se basa en lo dicho antes, el número de escudos que paga cada uno es el cuadrado de las frutas que compra: ‘x^2 = y^2 + (21*3)
Ahora, resolvemos el sistema (por sustitución, por ejemplo):
(a+y)^2 = y^2 + 63;
a^2+y^2+2ay = y^2 + 63;
y = (63-a^2)/(2a)
Pues bien, variando el parámetro ‘a’ se pueden calcular todas las posibles cantidades de fruta compradas por mujer-marido.
Está claro que ‘a’ tiene que ser menor o igual que 7. (De aquí se puede deducir que ni Enrique es marido de Gertrudis, ni Carlos es marido de Catalina).
Si nos quedamos sólo con las soluciones enteras tenemos que:
Si a = 1 ; x1 = 32 ; y1 = 31;
Si a = 3 ; x2 = 12 ; y2 = 9;
Si a = 7 ; x3 = 8 ; y3 = 1;
Ahora, si Enrique compró 23 piezas de fruta más que Gertrudis, necesariamente Enrique corresponde a x1 y Gertrudis corresponde a y2.
Si Carlos compró 11 piezas más que Catalina, necesariamente Carlos corresponde a x2 y Catalina a y3.
Con lo cual queda que Hilario es x3 y que Ana es y1.
Y fin del asunto.
Un saludo.
Hola Miguel.
Seguramente sera que estoy muy espeso, o que he malinterpretado parte de la exposición del problema, pero segun esto:
– Cada hombre gasta 3 “soles” más que su respectiva mujer
– Un “sol” son 21 “escudos”
Entonces no han comprado cada uno 63 piezas de fruta más que su pareja?
Ademas porque cada persona tiene que comprar solamente fruta de una clase? En lugar de un cuadrado perfecto, serian las sumas de varios cuadrados perfectos.
Luego lo miro, pero me parece que hoy de postre me comer un yogur….
Y si no es puramente matematico, si lo sacamos por deducción segun el enunciado coincido con Miguel………..
Hola kimitas, en cuanto a lo de comprar 63 piezas de fruta más que su pareja está claro que no necesariamente tiene que ser así, son 63 escudos más, no 63 piezas de fruta (una pieza de fruta puede costar más de un escudo).
Creo que cada persona sólo puede comprar frutas del mismo tipo (o precio). ¿Por qué?
El enunciado dice: «Compran tantas frutas (diferentes tipos) como los “escudos” que pagan por cada una.»
Imaginemos que una persona compra ‘p’ peras y ‘m’ manzanas. Entonces está claro que ha comprado ‘p+m’ piezas de fruta. Ahora sabemos cuánto ha costado cada fruta (lo dice el enunciado). Cada fruta ha costado ‘p+m’ escudos. Entonces necesariamente las peras costaban lo mismo que las manzanas, es decir, ‘p+m’ escudos y en total se ha gastado ‘(p+m)^2’ escudos.
De esta forma el tipo de fruta da igual. Se sabe que cada persona compra frutas que valen lo mismo.
Aunque haya habido que deducir cosas, el problema no deja de ser matemático.
Espero no haberme equivocado en mi razonamiento.
Un saludo.
Tienes razon, habia interpretado mal lo de que «Compran tantas frutas (diferentes tipos) como los “escudos” que pagan por cada una.”
Esta claro si alguien compra fresas y cada una cuesta 10 escudos, esa persona habra comprado 10 fresas
Yo lo había entendido de otra forma…
«Compran tantas frutas (diferentes tipos) como los “escudos” que pagan por cada una.»
Yo entendí que cada uno compra una fruta diferente y cada uno paga por su fruta el número de frutas que ha comprado.
ej: uno compra 9 melones y paga 9 escudos
otro compra 8 peras y paga 8 escudos
para cada fruta (no cada pieza, sino cada variedad),
los escudos que pagan son iguales al número de frutas
De esta forma, llegaba a infinitas soluciones en cuanto a escudos gastados… pero alcanzaba una solución por vía de la lógica. Y además esa solución coincide con la de Miguel.
Me basé en una frase del enunciado:
» ellos se llaman Hilario , Carlos y Enrique, y las mujeres , Gertrudis , Ana y Catalina , pero no en ese orden son las parejas »
Así que aunque sabía que esa frase podía interpretarse de formas diferentes, tomé la interpretación que me convenía: que Hilario no es pareja de Gertrudis, Carlos no es pareja de Ana, Enrique no es pareja de Catalina.
Luego, sabiendo que Enrique no es pareja de Gertrudis (23 frutas más no es compatible con 21 escudos)… se deduce que Ana es la pareja de Enrique, la pareja de Gertrudis es Carlos y el resto son pareja: Hilario y Catalina.
El dato de «Carlos compró 11 más que Catalina» sobraría, pero es totalmente compatible con la solución y es una vía alternativa para llegar a ella.
Dicho eso, al ver la solución de Miguel me ha gustado más, pero quise poner la mía porque me hizo gracia haber obtenido la misma.
Por cierto, otro detalle, aunque se tome otra interpretación diferente, que no sea «que Hilario no es pareja de Gertrudis, Carlos no es pareja de Ana, Enrique no es pareja de Catalina.» también puede resolverse usando el dato sobrante. Por ejemplo, «que alguna de esas tres parejas no es correcta» (por tanto, alguna podría serlo pero no todas) .
Ah, por cierto, había un par de detalles que no cuadraban, que dice: «Es un problema puramente matemático ( y dificil , me parece mí)»
Bueno, lo de matemático podría aceptarse (la lógica no deja de ser matemáticas: algebra de Boole) pero lo de difícil… pues no creo.
Bueno , tengo que hilar más fino en la redacción de los enunciados.
Aunque no es inequívoco , no pensé que diese lugar a tan diferentes interpretaciones.
Dí por supuesto que cada persona compraba un tipo de fruta , y compró tantas piezas como el precio de una pieza de ese tipo de fruta.
Respecto a las parejas , «no en ese orden» creo que no debería interpretarse como » te convenía » , Acido , Jeje , pero daba pie a esa opción.
Y en lo de «puramente» matemático , prometo no calificar así ningún otro problema , me quedaré en «matemático»; simplemente quise hacer referencia a que no había juegos de palabras ni trucos no matemáticos, y la lógica , en principio, la cuento como matemática.
Respecto a que no es difícil , Acido , esto ya es más subjetivo , a mi me lo pareció cuando lo leí y me puse a resolverlo , lo cual no quita para que para otros no lo sea , es más , me parece normal , pero quedo cubierto de ese error pues especifiqué que me lo parecía a mi. 🙂
Mi forma de resolverlo coincide básicamente con la de Miguel:
Sea X el numero de frutas que compra cada mujer e Y el de frutas que compra su marido , entonces :
y^2 = x^2 +63
(x^2+63 debe ser un entero, pues representa un numero de frutas)
y^2-x^2=63
(y+x)(y-x)=63
Esto admite 3 posibilidades : 63×1 , 9×7 y 21×3 con las siguientes soluciones en cada caso:
32 y 31 , 8 y 1 y 12 y 9
donde tambien llegó Miguel de forma similar y la continuación ya la puso él en el primer comentario.