Calculando volumenes , un problema clásico

Este problema es un clásico , pero a los que no lo conocen les  sigue sorprendiendo y pareciendo  que faltan datos.

Construimos un anillo a partir de una esfera solida , a la cual vaciamos con un cilindro que pasa por el centro de la esfera.

Cuando el anillo esta sobre una superficie plana , su altura es exactamente de 2cm .

¿Cual es el volumen ( en cc) del material solido que forma el anillo?

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11 comentarios en «Calculando volumenes , un problema clásico»

  1. «Cuando el anillo esta sobre una superficie plana , su altura es exactamente de 2cm .», mi pregunta es: ¿En cualquier dirección? Horizontal y Vertical?

    Porque si es solamente en forma horizontal falta el dato de el tamaño del agujero central. Pues podria ser un anillo con una altura de 2cm con una perforación de 1mm o puede ser un anillo de 2 cm de altura con una perforacion de 0.5 m de diametro.

    Claro en este caso deberá ser expresado en tamaño de diametro del agujero

  2. No conocia el problema, pero sin ponerme a calcular volumenes de cilindros y «tapas curvas», como el enunciado dice que no faltan datos…

    [spoiler]

    El volumen de una esfera es 4/3 * PI * R^3, en este caso R = ( 1+ X) donde X es la altura de cada una de las «tapas curvas» del cilindro. Entonces V=4/3 * PI * (1+X)^3 = 4/3 * PI * (1 + 3X^2 + 3X + X^3)

    Si la solucion es unica sea cual sea el radio de la esfera, esto quiere decir que el volumen del anillo no depende de X… con lo cual el volumen del anillo es 4/3*PI*1 = 4PI/3 y el resto de terminos en X^2, X y X^3 seran los volumenes del cilindro y las tapas.

    [/spoiler]

  3. Que tal?

    [spoiler] El volumen es de 8/6*PI

    Lo obtuve utlizando la fórmula para calcular el volumen de un sólido generado por revolución http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_de_revolución

    En esta ocasión se tienen 2 funciones una que es la del cilindro y la otra la porción de la circunferencia

    La función de la circunferencia es y^2=r^2-x^2 f(x)

    La del cilindro es constante y es igual a √(r^2-(h^2/4)) g(x)

    Sustituyendo en la fórmula de volumen (la integral se evaluará desde -h/2 hasta h/2 para cubrir la altura del cilindro)

    V= PI ∫ (f(x)^2 – g(x)^2)dx = PI ∫ (r^2 – x^2 – r^2 + (h^2)/4)dx = PI ∫ ((h^2)/4 -x^2)dx = Pi*((h^2)/4*x -x^3/3)

    evaluando la integral en el intervalo de -h/2 a h/2 tenemos:

    PI * (h^2/4*(h/2-(-h/2)) – (h/2-(-h/2)^3/3) = PI* ((h^3)/4 – 2/24*h^3) = 1/6*PI*h^3

    tomando en cuenta h=2cm el volumen es 1/6*PI*2^3 = 8/6*PI aproximadamente 4.18 cc

    Saludos

    [/spoiler]

  4. el caso esq si a la esfera le qitas el cilindro no te qeda el anillo de la izqierda……imaginaros q al anillo ese le metes un cilindro, te qeda una esfera con dos caxos recortados arriba….asiq no tengo ni idea de cmo se ace

  5. Entonces la gracia del problema es demostrar que no depende del agujero. Puesto que si asumimos que no depende. Es facil calcular que el volumen del anillo con un agujero infinitamente pequeño de altura 2cm, es igual a el volumen de una esfera de diametro de 2cm.

    4/3 * pi * R^3 = 4/3 * 3.14 * 1cm^3 = 4.187cm^3

  6. La respuesta del último anónimo es la correcta a mi entender.
    Es la deducción que apliqué yo, sólo que cometí el error de principiante de poner el diámetro (2cm) en la fórmula y no el radio (1cm) 😉

  7. Si a alguien le interesan los valores de las figuras volumetricas:

    [spoiler]

    Volumen de «barquillo de helado» formado por una esfera de radio «R» y altura de cono «a»
    V= (pi*2/3) * R^2 *( R-a )

    Volumen del cono del «barquillo de helado» de altura «a» y lado «R»
    V= (pi/3) *a* (R^2 -a^2)

    Volumen de: La fracción pequeña de una esfera de radio «R» cortada por un plano a una distancia «a» del centro (O sea de la parte superior del barquillo):
    V= (pi/3) * ( (a^3)+(2*R^3)-(3*R^3) )

    Volumen del segmento intersectado de un cilindro de radio ( (R^2)-(a^2) ) cruzando el centro de una esfera de radio «R» (O sea el area interior del anillo. Donde «a» = 1cm).
    V=(pi*4/3) * ( (R^3)-(a^3) )

    [/spoiler]

Los comentarios están cerrados.