Se lanzan continuamente dos monedas al aire hasta que en un lanzamiento salgan dos caras o hasta que haya dos lanzamientos consecutivos en los que se repita una cara y una cruz. En el primer caso ganará el jugador A y en el segundo caso ganará el jugador B ¿Qué probabilidad tiene cada uno de ganar?
Acertijo enviado por Jogares.
Lo que he calculado las probabilidades de que, si ha ganado uno de ellos, cuál ha ganado.
[spoiler]3/5 de que gane el de las caras y 2/5 el otro[/spoiler]
[spoiler] 25% para ambos [/spoiler]
No
[spoiler]
1/2.
A gana si sale Cara-Cara, B gana si sale Cara-Cruz. El juego comienza realmente cuando sale la primera Cara, las cruces anteriores, si hay, no influyen. Una vez que ha salido la primera Cara, A gana si sale otra Cara y B gana si sale Cruz.
[/spoiler]
Lo he leído mal y he contestado a otro problema que no es el que se preguntaba. La respuesta correcta es la de Grangugel.
[spoiler]El juego acaba con una tirada la mitad de las veces, porque sale cara y cara, ganando el primer jugador o porque sale cruz y cruz, no ganando nadie (con probabilidad 1/4 en los dos casos). La otra mitad de las veces hay que hacer una segunda tirada porque sale cara y cruz. En este caso, la mitad de las veces se acaba con cara y cruz, ganando el segundo, la cuarta parte se acaba con cara y cara, ganando el primero, y la cuarta parte con cruz y cruz, no ganando nadie. La eventual segunda tirada acaba también el juego. El primero gana con una probabilidad de 3/8 y el segundo con 1/4 (=2/8) y no gana nadie con probabilidad de 3/8. Por tanto, gana alguien con probabilidad de 5/8. Si gana alguien, el primero gana con probabilidad de 3/5 y el segundo con 2/5
[/spoiler]
La solución de Grangugel es la correcta. Además no es necesaria la condición «si gana alguien» ya que, de acuerdo con el enunciado, cuando salen dos cruces se vuelve a tirar y así continuamente hasta que gana alguno de los dos. Por tanto hay que considerar solamente las probabilidades de los dos y ponerlas en base de suma 1.
Saludos
No estoy de acuerdo con vosotros. Me parece que el problema es bastante más complicado.
[spoiler] Es verdad que, como dice Grangugel tras 2 tiradas la probabilidad de ganar es A (3/8), B(2/8) y nadie (3/8). Y es verdad que el enunciado dice que siempre gana alguién, pero no tras dos tiradas, sino jugando hasta que gana alguien. Las probabilidades de que no gane nadie se dividen entre los otros de manera compleja: En la siguiente tirada 1/4 de 3/8 gana A, pero B solo puede ganar si la tirada anterior era cara/cruz y la primera cruz/cruz (1/4 por 1/2). De momento no he conseguido cuadrar las probabilidades matemáticamente, pero he preparado una simulación en python que (si no me he equivocado al programarla) me da alrededor de 42.8% de A y 57.2 % de B.
[\spoiler]
Pensandolo mejor tampoco estoy de acuerdo con el pronóstico de Grangugel para dos tiradas: Creo que no considera la opción de que tras el Cruz-Cruz inicial, salga Cara-Cara en la segunda tirada, aumentando ligeramente las opciones de ganar A.
Es verdad, siempre gana alguien con las condiciones del enunciado. No es mala idea entender, de momento, que se trata de partidas sucesivas que duran o dos tiradas, si sale cara y cruz, o una tirada en caso contrario. Lo que hay que analizar es el caso cruz y cruz que obliga a seguir jugando otra partida más (probabilidad 1/4). Es decir, hay una probabilidad de 1/4 que se «reparte» entre los dos jugadores.
Mmm. También se «reparte» la probabilidad de que salga cruz y cruz en el caso de que haya que acudir a la segunda tirada (probabilidad 1/8).
Yastá
[spoiler]La solución es curiosamente 3/5 para el primero y 2/5 para el segundo pero sin la prevención de «si gana alguno». Gana uno de los dos con esas probabilidades.
Corrijo en parte. Lo que hay que «repartir» es la probabilidad de 3/8 de que nadie gane en la primera partida, es decir, de que saga cruz y cruz. En este caso hay que seguir tirando a la segunda partida. En esta segunda partida, las probabilidades de que gane uno y otro son las mismas. O sea, si DE HECHO nos metemos en la segunda partida, las probabilidades son de 3/8 y 2/8. Así que la probabilidad de que entremos en la segunda partida y ADEMÁS gane el primero es de (3/8)*(3/8) y de que entremos en la segunda y ADEMÁS gane el segundo es de (3/8)*(2/8).
Seguimos: la probabilidad de que gane el primero si no jugamos más de dos partidas es de P(1º, < 3 partidas) = 3/8 + (3/8)*(3/8) y para el segundo con estas condiciones P(2º, < tres partidas) = 2/8 + (3/8)*(2/8). La probabilidad de que TENGAMOS después de todo que entrar en la tercera partida es de (3/8)*(3/8).
Para la probabilidad de ganar si no jugamos más de tres partidas es la probabilidad anterior más la probabilidad de ganar en la tercera partida, o sea, (3/8)*(3/8)*(3/8) para el primero y (2/8)*(3/8)*(3/8) para el segundo.
O sea, P(1º, < cuatro partidas) = 3/8 + (3/8)*(3/8) + (3/8)*(3/8)^2
P(2º, < cuatro partidas) = 2/8 + (2/8)*(3/8) + (2/8)*(3/8)^2
Como siempre quedara una probabilidad de que la partida no acabe con la victoria de uno de los dos (con probabilidad cada vez menor, geométricamente menos), se ve claramente que es una serie infinita (en los dos jugadores). Es la serie geométrica, que, sumada, da 3/5 para el primero y 2/5 para el segundo.
Las series infinitas y sus sumas son las seguientes.
P(1º) = 3/8 + (3/8)*(3/8) + (3/8)*(3/8)^2 + (3/8)*(3/8)^3 + … =
= (3/8)*(1 + 3/8 + (3/8)^2 + (3/8)^3 + …) = (3/8)*(1/(1- 3/8)) =
= (3/8)*(8/5) = 3/5
P(2º) = 2/8 + (2/8)*(3/8) + (2/8)*(3/8)^2 + (2/8)*(3/8)^3 + … =
= (2/8)*(1 + 3/8 + (3/8)^2 + (3/8)^3 + …) = (2/8)*(1/(1- 3/8)) =
= (2/8)*(8/5) = 2/5
Hay un razonamiento más directo, mucho más directo, considerando la idea de que EN CADA PARTIDA y SI HA GANADO ALGUNO, el primero tiene una probabilidad de 3/5 y el segundo de 2/5. Si vamos a la segunda partida pasa lo mismo dando igual la probabilidad de ir a esta segunda partida. Si tenemos que ir a la tercera se razona igual. En todas las partidas el reparto es 3/5, 2/5 si es que en esa partida gana uno de ellos.
Como yo lo veo hay 4 escenarios posibles escenarios despues de cada lanzamiento (O-X, O-O, X-O, XX) es decir las posibilidades de que cada escenario se cumpla es de 25% (100%/4 escenarios) partiendo de ahí el jugador A en cada lanzamiento tiene una posibilidad de alcanzar el exito de 25%. Por otra parte el jugador B necesita de dos lanzamientos para alcanzar el éxito que el jugador A puede alcanzar en uno solo, el jugador B tiene 2 escenarios favorables de 4 posibles en cada lanzamiento para alcanzar la mitad de lo que necesita para ganar el juego, es decir cada lanzamiento el jugador B tiene una probabilidad del 50% de alcanzar el 50% de su objetivo, lo que se traduce en un 25% (50% del 50%) de probabilidades de obtener lo que necesita para ganar.
Entonces cada jugador tiene un 25% de ganar y el restante 50% de posibilidades es que ninguno de los dos gane tras cada lanzamiento, como el problema nos pregunta la posibilidad de que uno u otro gane, eliminamos la probabilidad de que ninguno lo haga ya que no nos interesa y nos resulta en que cada jugador tiene las mismas posibilidades de ganar el juego (50%-50%)
Saludos.