Encuentra nueve números primos diferentes que se puedan colocar en un cuadrado de 3×3 de tal manera que el promedio de cada fila, columna y diagonal sea también un número primo.
Cuadrado mágico de primos
10 comentarios en «Cuadrado mágico de primos»
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Todavía no lo tengo, pero ya sé que… [spoiler] La solución sólo puede ser de dos maneras:
Manera 1- Todos los números primos son «múltiplos de 3 +1»
Manera 2- Todos los números primos son «múltiplos de 3 +2»
[/spoiler]
Demostración: [spoiler]
Si el promedio de cada fila, columna o diagonal es primo, entonces también es entero. Por lo tanto, la suma de cada fila, columna o digonal tiene que ser múltiplo de 3.
Todos los enteros pertenecen a una (y sólo una) de estas categorias:
0= (múltiplos de 3)
(0,3,6…)
1= (múltiplos de 3) +1
(1,4,7…)
2= (múltiplos de 3) +2
(2,5,8…)
El único primo en la categoría 0 es el 3. El resto pertenecen a las categorías 1 y 2.
Si intentamos formar este cuadrado sólo con las categorías, sin importarnos qué números concretos son, llegamos a la siguiente conclusión:
111
111
111
y
222
222
222
son las únicas configuraciones que pueden cumplir las propiedades del enunciado.
(en las demás configuraciones, la suma de alguna fila, columna, o diagonal, no es múltiplo de 3, por lo tanto su media no es un entero, por lo tanto no puede ser un primo)
Es decir, o todos son «(múltiplos de 3) +1», o todos son «(múltiplos de 3) +2»
[/spoiler]
Todavía no lo tengo, pero ya sé que… [spoiler] La solución sólo puede ser de dos maneras:
Manera 1- Todos los números primos son «múltiplos de 3 +1»
Manera 2- Todos los números primos son «múltiplos de 3 +2»
[/spoiler]
Demostración: [spoiler]
Si el promedio de cada fila, columna o diagonal es primo, entonces también es entero. Por lo tanto, la suma de cada fila, columna o digonal tiene que ser múltiplo de 3.
Todos los enteros pertenecen a una (y sólo una) de estas categorias:
0= (múltiplos de 3)
(0,3,6…)
1= (múltiplos de 3) +1
(1,4,7…)
2= (múltiplos de 3) +2
(2,5,8…)
El único primo en la categoría 0 es el 3. El resto pertenecen a las categorías 1 y 2.
Si intentamos formar este cuadrado sólo con las categorías, sin importarnos qué números concretos son, llegamos a la siguiente conclusión:
111
111
111
y
222
222
222
son las únicas configuraciones que pueden cumplir las propiedades del enunciado.
(en las demás configuraciones, la suma de alguna fila, columna, o diagonal, no es múltiplo de 3, por lo tanto su media no es un entero, por lo tanto no puede ser un primo)
Es decir, o todos son «(múltiplos de 3) +1», o todos son «(múltiplos de 3) +2»
[/spoiler]
Una vez sabiendo esto, es bastante fácil.
Por ejemplo:
[spoiler] Con «(múltiplos de 3) +2»:
11 41 59 =37
53 5 83 =47
29 47 17 =31
=31 =31 =53
Diagonales= 19, 11
[/spoiler]
[spoiler]
11 41 59 =37
53 5 83 =47
29 47 17 =31
=31 =31 =53
Diagonales= 19, 11
[/spoiler]
Perdón, en la solución de arriba me lié con los números
Ahora sí: una solución posible sería…
[spoiler]
11 41 59 =37
53 5 83 =47
29 47 17 =31
=31 =31 =53
Diagonales= 31, 11
(Había puesto mal la media de una de las diagonales)
[/spoiler]
[spoiler]
11 41 59 =37
53 5 83 =47
29 47 17 =31
=31 =31 =53
Diagonales= 31, 11
[/spoiler]
Perdón si salen duplicados los comentarios, pero es que la mitad de las veces no me aparecen cuando los publico.
Otra solución posible:
[spoiler]17 5 11
41 23 29
53 59 47[/spoiler]