Se han escrito en una pizarra algunos números (reales) ; pueden repetirse lo números (vamos , leyendo las condiciones es obvio que alguno al menos debe repetirse.)
La suma de los números es 20.
La suma menor que se puede conseguir con 3 de ellos es 5 y la suma mayor que podemos conseguir con 3 de los números es 7.
¿Cuántos números hay escritos en la pizarra?
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Sabemos que los tres más bajos suman 5, y los tres más altos suman 7, lo que hace un total de 12, por lo tanto nos faltan 8 para llegar a 20.
Podemos separar los números de la pizarra en tres grupos:
A: los tres más bajos, que suman 5
B: los del medio (todavía no sabemos cuántos son), que suman 8
C: los tres más altos, que suman 7
Es obvio que cualquier número del grupo B ha de ser menor o igual que el más bajo del grupo A y mayor o igual que el más alto del grupo C (por cómo hemos definido los grupos).
Sabemos que los tres números más bajos suman 5, luego… cuál es el mínimo valor que puede tener el tercer número más bajo?
Si los tres números más bajos son todos 5/3 entonces su suma será 5, como pide el enunciado. Por lo tanto ya sabemos que el valor más bajo que puede tomar el tercer número más bajo es menor o igual que 5/3… puede ser estrictamente menor que 5/3? No, porque si asi lo fuera los dos números más bajos también serían menores que 5/3 y por lo tanto la suma de los tres números más bajos no podria ser 5. Por lo tanto el valor más bajo que puede tomar el tercer número más bajo es 5/3 (sólo toma este valor cuando los tres números más bajos son 5/3)
Con un razonamiento análogo probamos que el valor más alto que puede tomar el tercer número más alto es 7/3.
Por lo tanto tódolos números del grupo B (los del medio) tienen que tener valores comprendidos entre 5/3 y 7/3.
Cuántos números forman este grupo?
Es fácil encontrar ejemplos en los que el grupo B está formado por cuatro números, pero … es ésta la única posibilidad?
Podría el grupo B estar formado por menos de cuatro números?
Si fuesen tres números lo máximo que podrían sumar sería 3x(7/3)=7 por lo tanto no podrían sumar 8 como dice el enunciado, es decir, que no pueden ser tres ni menos de tres.
Podría el grupo B estar formado por más de cuatro números?
Si fuesen cinco números lo mínimo que podrían sumar sería 5x(5/3)=25/3, que es mayor que 8, por lo tanto tampoco podrían ser cinco o más de cinco.
Conclusión: Tiene que haber cuatro números en el grupo B, sí o sí.
Más los tres del grupo A y los tres del grupo B tenemos un total de 10 números en la pizarra.
Ejemplos:
1,2,2,2,2,2,2,2,2,3
(5/3),(5/3),(5/3),2,2,2,2,(7/3),(7/3),(7/3).
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