Hace tiempo, en esta misma página se publicó un acertijo que me gustó mucho. El enunciado lo podéis ver aquí:
http://acertijosymascosas.blogspot.com.es/2006/11/acertijo-enigma-la-ejecucion.html
En este caso propongo una ampliación del problema. En lugar de considerar dos colores de sombrero, supongamos que hay TRES. Todo lo demás se queda igual.
¿Cuál es la mejor estrategia en este caso?
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Creo que he conseguido una forma de salvar a 98 y dejar a dos al 33%
Colores: Rojos, verdes y amarillos.
El último se fija en los sombreros rojos, y si son pares dice rojo, si son impares dice o verdes o amarillos, en este caso da igual. De esta forma todos saben información sobre los sombreros rojos (si ves un número par y quedaban impares rojos, es que tienes uno rojo) que solo te servirá si tienes un sombrero rojo. Así salvamos a los rojos.
El primero al que le toque hablar y NO sea rojo hará lo mismo con el verde. Esta vez si son pares dirá verde, si son impares dirá amarillo. De esta forma todos los verdes y amarillos también se podrán salvar de la misma forma de antes, ya que el que los amarillos sean pares o impares se puede calcular sabiendo los verdes y rojos.
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Perdón, se salvan 98, uno se queda al 33% y el otro al 50%.
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Se puede mejorar:
[spoiler]El último dice ROJO si ve un número par de sombreros rojos, si no dice VERDE si ve un número par de verdes y si no dice AZUL. Cuando dice ROJO, el primero que no lo tiene rojo dice VERDE si ve un número par de verdes y AZUL si no. Pero si el primero dice VERDE o AZUL dice la paridad de los tres colores y nadie más tiene que arriegarse.
Las probabilidades de salvarse son 33% para el último y 75% para el último que tiene un sombrero que no sea rojo.[/spoiler]
Muy buenas propuestas, chek y Mmonchi. Os animo a que lo intentéis mejorar. A mí se me ha ocurrido una estrategia que:
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salva con seguridad a 99 y, claro, al primero que habla con 33%.
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Dejo tiempo si lo queréis intentar.
Saludos.
[spoiler]Esto funciona, aunque es muy complejo: el último mira la paridad del número de sombreros de cada color y si solo hay uno impar dice ese color; pero si los tres números son impares dice el color del penúltimo. A partir de aquí cada uno puede deducir su color con lo que ve y lo que ha oído.
Y después llega el rey y pone un daltónico el último. XD[/spoiler]
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Mmonchi, tengo la impresión de que tu solución no funciona siempre, me explico:
Imaginemos la situación inicial de que el antepenúltimo escucha detrás suya dos «Rojo». Que el último haya dicho «Rojo», significa una de estas dos cosas: o que el rojo es el único impar, o que todos son impares y el penúltimo llevaba color rojo. Que el penúltimo haya dicho rojo no significa más que su color resultaba que era el rojo, puesto que él veía un número par de rojos.
Pongamos, por ejemplo, que el penúltimo era el único rojo de los cien, y pongamos también que lo que ve el antepenúltimo (número 98º) son 2 verdes y 95 amarillos. Hay dos posibilidades:
1-Que la posición inicial fuera 1 rojo, 3 verdes y 95 amarillos para el último, y que como hay tres impares, dijera el del penúltimo.
2-Que la posición inicial fuera 1 rojo, 2 verdes y 96 amarillos para el último, y que al ser el rojo el único impar, dijese rojo.
Pese a que son ambas posibles, una deja con color verde al número 98º y otra le deja con un amarillo, por lo que su posibilidad de vivir sería de un 50%.
Dicho esto, también he hecho la misma prueba con la variante de que el último dijera el color del primero de la fila, que es visible por todos, pero tampoco me ha salido.
Tengo que decir que hay una cosa que me molesta, y es que tenemos cuatro posibilidades: I-I-I / I-P-P / P-I-P / P-P-I, y sin embargo, según Miguel, es posible, teniendo solo tres opciones al hablar, comunicar con cuál de las cuatro lidiamos. Quizás es que nos estamos centrando mucho en «par» «impar» y la cosa no va por ahí. Aún no logro la clave. Seguiré pensando.
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Vale, se me había metido en la cabeza que me estaba centrando demasiado en la tesitura de Par-Impar y quise probarlo con alguna otra cosa, y esto es lo que me ha salido, que CREO que salva a 99 y deja al último al 33%:
Un sombrero rojo suma un punto. Un sombrero amarillo suma dos puntos. Un sombrero verde suma tres puntos. El último suma los 99 delante suya y después de sumarlos, divide el número entre 3. Si no hay resto, dice «Rojo», si el resto es uno dice «Amarillo», si el resto es dos dice «Verde».
De esta manera, el 99º, 98º, etc., solo tienen que sumar lo que tienen delante y calcular los números ya dichos, y ver cuánto tendrían que sumar para que el resto diera el mismo que dijo el último.
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Chek, creo que funciona, y además se puede extrapolar a cualquier número de colores.
Un problema interesante sería poner un daltónico, que todos reconocen por la voz, y que sabe cuántos sombreros hay de cada color pero no sabe que colores son (digamos que ve dos tonos de gris pero no sabe cuál es verde y cuál rojo.)
La estrategia óptima podría ser interesante.
¡Enhorabuena a los dos!
En primer lugar creo que el método propuesto por Mmonchi funciona, chek.
Desde luego no es trivial y en un primer intento también intenté «desmantelarlo». Además, una de las cosas que probé es el «contraejemplo» que propones, pero no funciona. Este era tu enunciado:
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Imaginemos la situación inicial de que el antepenúltimo escucha detrás suya dos “Rojo”. Que el último haya dicho “Rojo”, significa una de estas dos cosas: o que el rojo es el único impar, o que todos son impares y el penúltimo llevaba color rojo. Que el penúltimo haya dicho rojo no significa más que su color resultaba que era el rojo, puesto que él veía un número par de rojos.
Pongamos, por ejemplo, que el penúltimo era el único rojo de los cien, y pongamos también que lo que ve el antepenúltimo (número 98º) son 2 verdes y 95 amarillos. Hay dos posibilidades:
1-Que la posición inicial fuera 1 rojo, 3 verdes y 95 amarillos para el último, y que como hay tres impares, dijera el del penúltimo.
2-Que la posición inicial fuera 1 rojo, 2 verdes y 96 amarillos para el último, y que al ser el rojo el único impar, dijese rojo.
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ahora…
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Es cierto que hay dos configuraciones distintas mediante las cuales el último puede decir «rojo», sin embargo, el penúltimo no es ciego (ni daltónico :P). ¿Qué está viendo?
– Caso 1 (el penúltimo ve 3 verdes y 95 amarillos). Sabe que se dijo «rojo», por lo que la única opción es que todos fueran impares y se dijera su propio color: rojo.
– Caso 2 (el penúltimo ve 2 verdes y 96 amarillos). Sabe que se dijo «rojo», la única opción es que el número de rojos fuera impar (y él ve un número par de rojos) luego el suyo es: rojo.
– Caso 3 (el penúltimo ve 1 rojo 1 verde y 96 amarillos). Sabe que se dijo «rojo», por lo que el número de rojos es IMPAR (de aquí deduce que el suyo propio no es rojo). La única posibilidad es que el suyo sea verde y se dijera rojo por ser el único impar.
– Caso 4 (el penúltimo ve 1 rojo 2 verdes y 95 amarillos). Sabe que se dijo «rojo», de forma que el número de rojos es IMPAR (y por lo tanto el suyo no puede ser rojo). Este caso es análogo al anterior y se deduce que el color del penúltimo es amarillo.
¡Menudo lio! Lo que quería mostrar es que en base a lo que está viendo el penúltimo, se puede resolver la aparente ambigüedad.
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El método que has propuesto a continuación, chek, es la leche. Como dice Mmonchi parece que se puede extrapolar a cualquier número de colores, parece increíble, ¿incluso a más colores que personas?
Mi método también se basaba en considerar restos módulo 3, ahí va:
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Calculo el resto al dividir entre 3 del número de rojos, del número de verdes y del número de amarillos. Los posibles restos son claramente 0,1,2. Es fácil convencerse de que SIEMPRE habrá dos restos iguales y uno distinto. Si el último dice el color que tiene resto distinto creo que da suficiente información para que los demás se salven, corregidme si me equivoco.
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Por último, muy interesante lo de los daltónicos. Mmonchi, ¿te animas a formalizar un enunciado con daltónicos para que le demos respuesta?
Si solo hay un daltónico, supongo que el resto estaría de acuerdo en dejarle el primero de la fila (último en hablar) y no sortear con él la arriesgada última posición.
Saludos.
Perdona Miguel, quizá me expliqué mal:
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quise decir que es el ANTEpenúltimo, el número 98º de la fila, el que no sabe qué contestar si escucha detrás suya dos «rojos».
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Por otra parte, respecto a tu teoría:
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quizás estoy cometiendo un fallo bastante grave, pero si tienes por ejemplo 3 rojos, 5 verdes y 91 amarillos (suman 99 sombreros, que son los que ve el último), sus restos son 0, 2 y 1 respectivamente, donde tendrías un caso en el que no hay dos restos iguales.
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Respecto a lo del daltónico, solo me he atrevido con dos colores y poniendo al daltónico el último, y me he dado cuenta que, aunque varias de las estrategias usadas anteriormente funcionan en la mayoría de los casos, el caso en el que el penúltimo (número 99º) ve 49 de un color y 49 de otro me da la impresión de que es imposible hacer cualquier estrategia que salve 100% a este pobre hombre =P
Es cierto, hay que pensar en el antepenúltimo. Has llegado a dos situaciones en las que el antepenúltimo tiene un color distinto y está viendo lo mismo en ambas habiendo oído lo mismo. Parece que eso prueba que el método no vale siempre.
En cuanto al mio, creo que funciona con 101, no con 100 :P. Se podría adaptar al caso de 100 (pero no sería tan elegante como decir el color con resto diferente).
Respecto a lo del daltónico con dos colores, el caso en el que el penúltimo ve 49-49 es una putada, no hay estrategia que sirva en tal caso (para salvar al penúltimo). Propongo esta estrategia que salvaría al resto (y posiblemente al penúltimo salvo el caso 49-49)
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El daltónico suma los de un color y los de otro y calcula la diferencia entre ambas sumas. Ésta será un número impar: 1,3,5,7,9…
– En los casos 1,5,9,13,17… dirá «rojo».
– En los casos 3,7,11,15,19… dirá «verde».
As sí se pueden salvar todos (salvo el penúltimo en el caso mencionado antes).
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