10 monedas, 3 de ellas son falsas.

Te dan 10 monedas, 7 de las cuales son genuinas y pesan lo mismo.
De las monedas falsas, 2 son ligeramente más pesadas que una moneda genuina (ambas pesan lo mismo), mientras que la tercera moneda falsa es ligeramente más ligera que una moneda genuina.
La moneda más ligera junto con una de las monedas más pesadas pesa tanto como 2 monedas genuinas.

Usando una balanza lo suficientemente grande como para caber cualquier cantidad de monedas en cualquiera de las bandejas, ¿cuál es el número mínimo de pesadas necesarias para determinar cuáles de las monedas son falsas y cuál de las monedas falsas es la más ligera?

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Jose

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Mmonchi
Mmonchi
2 meses hace

El número de formas distintas de disponer las monedas es 10!/7!/2!/1!=360.
 
En una pesada puedo obtener tres resultados: que se incline a la izquierda, a la derecha o que se equilibre. Con N pesadas el máximo de casos que se pueden distinguir (en teoría) es de 3^N, en la práctica suelen ser menos.
 
Con 5 pesadas puedo distinguir como máximo 3^5=243 casos, por tanto es imposible hacerlo en 5 pesadas. Con 6 pesadas tengo 3^6=729>360.
 
El número de pesadas mínimo necesario no puede ser menor que 6, y muy probablemente sea 6.
 
Lo siguiente es buscar un método sencillo para resolverlo.

Javier
Javier
2 meses hace

Mmonchi, creo que equilibrarse no puede pasar nunca, al menos pesando de 5 en 5 🙂

Mmonchi
Mmonchi
2 meses hace

Claro, de 5 en 5 no, por eso poner 5 en cada lado es la peor pesada posible. Lo normal es empezar poniendo 4/4 o 3/3.
 
Para evaluar cómo de buena es una pesada se toman los 360 casos y se ve cuántos quedan en cada uno de los tres grupos. La mejor pesada es la que hace menor el grupo más grande. Poner 5/5 nos da los grupos 180/0/180. Habría que ver si la distribución de 4/4 es la mejor o es la 3/3.
 
Con 360 casos parece muy largo. Piensa que el problema clásico de las 12 bolas con una diferente tiene 24 casos y se resuelve con 3 pesadas (3^3=27<24) pero resulta muy engorroso de explicar. 360 casos con 6 pesadas parece muy complicado, salvo que exista una solución ingeniosa.

Javier
Javier
2 meses hace

Hombre pesar de 5 sirve para ver en que grupo/s está cada una de las monedas falsas, si tienes mucha suerte podrían estar en un solo grupo, al menos así lo veo yo, puede haber dos en uno u una en el otro, pero ya entre 5 se puede empezar a discernir quien es quien, no lo he desarrollado por engorroso el tomar todas las posibilidades, pero no creo que se vaya tampoco a muchas mas de las que tu dices, en fin, no se, tu no te dejas llevar por la intuición y es que eres verdaderamente calculador, mi observación la hice por si podía evitarte operaciones, saludos campeón 🙂

Mmonchi
Mmonchi
2 meses hace

He analizado la primera pesada para ver cómo de grandes son los grupos en los que se divide:
 
5/5 – 180/0/180 (es decir, si pongo 5 en cada lado 180 veces se inclina a la izquierda, 0 se equilibra y 180 se inclina a la derecha.)
4/4 – 140/80/140
3/3 – 132/96/132
2/2 – 126/108/126
1/1 – 92/176/92
 
A priori la mejor pesada es poner 2 en cada lado porque en el peor de los casos, cuando se inclina a un lado, solo tengo que resolver entre 126 posibilidades.
 
A partir de aquí se complica, pues no solo hay que elegir la cantidad de monedas en cada lado sino también las que son, y eso lo complica todo mucho.
 
Me ha sorprendido que la mejor opción sea 2/2, pensaba que sería mayor. Aunque puede ocurrir que 3/3 o 4/4 se resuelvan más fácilmente que esa por existir algún atajo. En fin, un lío.
 
 
 

Spider
Spider
2 meses hace

Mmonchi, estoy viendo la opción 2/2 que has apuntado.Me están saliendo 5 pesadas ..sorprendente.

Spider
Spider
2 meses hace

Me corrijo: Show ▼

 

Last edited 2 meses hace by Spider
Spider
Spider
2 meses hace

Estaría guay que las imágenes se pudiesen ocultar.

Mmonchi
Mmonchi
2 meses hace

Hago cuatro pesadas 1/1. Los resultados pueden ser:
a) A>B, C>D, E>F, G=H, I?J.
b) A>B, C>D, E=F, G=H, I?J.
c) A>B, C=D, E=F, G=H, I?J.
d) A=B, C=D, E=F, G=H, I?J.
 
a) Comparo A/C.
*Si A>C, A+, E+, D-;
*Si A=C, A+, C+, F-;
*Si A<C, C+, E+, B-.
 
 
b) Comparo I/J.
*Si I>J o I<J se convierte en el caso a);
*Si I=J, A+, C+. Comparo B/D. Si B>D, D-; Si B<D, B-.
 
c) Comparo H/I.
*Si H>I comparo I/J. Si I<J, A+, J+, I-; Si I=J, G+, H+, B-.
*Si H=I comparo C/E. Si C>E, C+, D+, B-; Si C=E, A+, J+, B-; Si C<E, E+, F+, B-.
*Si H<I comparo H/J. Si H>J, A+, I+, J-; Si H=J, A+, I+, B-; Si H<J, I+ ,J+, B-.
 
d) Comparo EI/GJ.
*Si GJ>EI comparo A/C. Si A>C, A+, B+, I-; Si A=C, G+, H+, I-; Si A<C, C+, D+, I-.
*Si GJ=EI comparo A/I. Si A=I, G+, H+, J-; Si A>I, E+, F+, I-.
*Si GJ<EI comparo A/C. Si A>C, A+, B+, J-; Si A=C, E+, F+, J-; Si A<C, C+, D+, J-.
 
El caso a) se resuelve en 5 pesadas, los demás en 6.
 

Last edited 2 meses hace by Mmonchi