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4444
6 comentarios en «4444»
¡Espectacular! Un problema muy bueno.
[spoiler]7.[/spoiler]
Gracias Mmonchi 🙂
Mi intuición me decía que sería una solución de ese tipo pero no lo veo
Alguna pista?
Enlero, [spoiler] división modular.[/spoiler]
En la última remesa de 14 problemas que he publicado hay uno con respuesta incorrecta.
La respuesta completa:
[spoiler]Para hallar el número de cifras que tiene 4444^4444 calculamos su logaritmo decimal, que es 4444*log4444=4444*3,647774=16210,7. Por tanto, es un número de 16211 cifras. Si todas las cifras fueran 9 la suma de sus cifras, A, sería 16211*9=145899, que es el máximo valor posible para A. Como B es la suma de las cifras de A, puede variar entre 1 cuando A=100000 y 40 cuando A=139999. B está entre 1 y 40.
Si no tenemos calculadora hacemos una estimación al alza. 10000^4444>4444^4444. Hallamos el logaritmo decimal de 10000^4444 que es 4444*log(10000)=4444*4=17776, por lo que el número de cifras de 10000^4444 es 17777 y su suma es como máximo A=159993. B puede variar entre 1 cuando A=100000 y 41 cuando A=149999.
La suma de las cifras de un número en módulo 9 es su resto al dividirlo entre 9. Ese resto se puede obtener operando directamente con los restos anteriores, en eso se basa la prueba del 9. Vamos a hallar 4444^4444 módulo 9.
4444mod(9)=7, que es el resto de dividir 4444 entre 9.
Para hallar (4444*4444)mod(9) calculamos (7*7)mod(9)=49mod(9)=4.
(4444^3)mod(9)=(7*7*7)mod(9)=(4*7)mod(9)=28mod(9)=1.
(4444^4)mod(9)=(7*7*7*7)mod(9)=(1*7)mod(9)=7mod(9)=7.
El ciclo se repite cada tres, ya que (4444^3)mod(9)=1, por lo que (4444^3n)mod(9)=1. Como 4444=1481*3+1, (4444^4444)mod(9)=7. Como Amod(9)=7, Bmod(9)=7. Como B está entre 1 y 40, los valores posibles de B son 7, 16, 25 y 34. En los cuatro casos la suma de los dígitos de B es 7.
Es necesario hacer la comprobación inicial del valor más alto posible de B. Si en lugar de 40 fuera 80, entre los valores posibles que tienen como resto 7 al dividirlo entre 9 estaría 79. En ese caso la suma de los dígitos de B podría ser 7 o 16 y no se podría resolver.[/spoiler]
¡Espectacular! Un problema muy bueno.
[spoiler]7.[/spoiler]
Gracias Mmonchi 🙂
Mi intuición me decía que sería una solución de ese tipo pero no lo veo
Alguna pista?
Enlero, [spoiler] división modular.[/spoiler]
En la última remesa de 14 problemas que he publicado hay uno con respuesta incorrecta.
La respuesta completa:
[spoiler]Para hallar el número de cifras que tiene 4444^4444 calculamos su logaritmo decimal, que es 4444*log4444=4444*3,647774=16210,7. Por tanto, es un número de 16211 cifras. Si todas las cifras fueran 9 la suma de sus cifras, A, sería 16211*9=145899, que es el máximo valor posible para A. Como B es la suma de las cifras de A, puede variar entre 1 cuando A=100000 y 40 cuando A=139999. B está entre 1 y 40.
Si no tenemos calculadora hacemos una estimación al alza. 10000^4444>4444^4444. Hallamos el logaritmo decimal de 10000^4444 que es 4444*log(10000)=4444*4=17776, por lo que el número de cifras de 10000^4444 es 17777 y su suma es como máximo A=159993. B puede variar entre 1 cuando A=100000 y 41 cuando A=149999.
La suma de las cifras de un número en módulo 9 es su resto al dividirlo entre 9. Ese resto se puede obtener operando directamente con los restos anteriores, en eso se basa la prueba del 9. Vamos a hallar 4444^4444 módulo 9.
4444mod(9)=7, que es el resto de dividir 4444 entre 9.
Para hallar (4444*4444)mod(9) calculamos (7*7)mod(9)=49mod(9)=4.
(4444^3)mod(9)=(7*7*7)mod(9)=(4*7)mod(9)=28mod(9)=1.
(4444^4)mod(9)=(7*7*7*7)mod(9)=(1*7)mod(9)=7mod(9)=7.
El ciclo se repite cada tres, ya que (4444^3)mod(9)=1, por lo que (4444^3n)mod(9)=1. Como 4444=1481*3+1, (4444^4444)mod(9)=7. Como Amod(9)=7, Bmod(9)=7. Como B está entre 1 y 40, los valores posibles de B son 7, 16, 25 y 34. En los cuatro casos la suma de los dígitos de B es 7.
Es necesario hacer la comprobación inicial del valor más alto posible de B. Si en lugar de 40 fuera 80, entre los valores posibles que tienen como resto 7 al dividirlo entre 9 estaría 79. En ese caso la suma de los dígitos de B podría ser 7 o 16 y no se podría resolver.[/spoiler]