Los grupos de numeros de abajo son los 5 ultimos dígitos de la 5ª potencia de los números 31 al 39.
Sin embargo no sabemos cual es cual.
Sin usar calculadora , ¿puedes decir a que número ( del 31 al 39) corresponde cada grupo de los dígitos?
35393 35424 29151
24199 21875 35168
54432 43957 66176
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[spoiler] todos coinciden con su ultima cifra es decir el que acaba en 2 es la potencia de 32 y asi sicesivamente[/spoiler]
[spoiler] Esto no sólo sucede con estos números en concreto, sino que, en general, dado un número natural cualquiera N, la última cifra de N es igual a la última cifra de (N^5). Sea cual sea N. O dicho más llanamente: Al elevar un número a 5, la última cifra no varía.
Cómo demostramos esto?
Obviamente, no podemos comprobar la propiedad número por número, porque son infinitos, así que habrá que hacer algún «truco».
En estos casos en los que queremos demostrar que cierta propiedad se cumple para todos los números naturales lo más útil suele ser el método de inducción.
En qué consiste este método?
Primero demostramos que la propiedad se cumple para el primer número natural (el 1)
Luego demostramos que si es cierto que la propiedad se cumple para un número natural cualquiera, entonces también se cumplirá para su sucesor (si se cumple para N, también su cumplirá para N+1)
Una vez hecho esto ya queda demostrado que se cumple para todos los números naturales, ya que como se cumple para el 1, también se cumple para el 2, pero como se cumple para el 2, también se cumple para el 3, y así sucesivamente (de ahí el nombre del método, la propiedad se va induciendo de número a número).
Pues vamos allá:
1) La propiedad se cumple para el 1 porque 1^5=1
2) Supongamos que la propiedad se cumple para un natural cualquiera N y demostremos que entonces también se cumplirá para N+1
Veamos cómo es la última cifra de (N+1)^5
(N+1)^5=N^5+5N^4+10N^3+10N^2+5N+1
Por lo tanto:
«última cifra de»[(N+1)^5]=»última cifra de»[N^5+5N^4+10N^3+10N^2+5N+1]
El 10N^3 y el 10N^2 al ser múltiplos de 10 tienen 0 en la última cifra, así que los podemos despreciar
El 5N^4 y el 5N también los podemos despreciar porque si N es par ambos acaban en 0 y si N es impar ambos acaban en 5 entonces su suma acabará en 0 en cualquier caso.
Tachamos todo esto y nos queda
«última cifra de»[(N+1)^5]= «última cifra de»[N^5+1]
Pero la última cifra de N^5 es igual a la última cifra de N (porque estamos suponiendo que la propiedad se cumple para N)
Por lo tanto:
«última cifra de»[(N+1)^5]= «última cifra de»[N+1]
Esto significa que la propiedad también se cumple para N+1 siempre que se cumpla para N, que era lo que queríamos demostrar.
[/spoiler]
Uouu!!! Impresionante explicación Enciasjose. La lei y la entendi, lo que es bastante teniendo en cuenta lo mal que me llevo con las Mates.
Wow, que interesante explicación, la verdad que me ha costado bastante pillarlo jeje