Entre los números 1000 y 2000 puedes llegar a cada número entero como la suma de dos o más números enteros consecutivos (no negativos).
Por ejemplo 249 + 250 + 251 + 252 = 1002
o 147 + 148 + 149 + 150 + 151 + 152 + 153 = 1050.
Solo hay un número entre 1000 y 2000 que no se puede alcanzar de esta manera.
¿Cuál es este número?
[spoiler] 1024 [/spoiler]
[spoiler]La suma de N números consecutivos es Nx más la suma de los números de 0 a N-1, que vale N(N-1)/2. Si N es impar la suma es N*(x+(N-1)/2) y como x+(N-1)/2 es entero, todos los divisores de N, a partir de un determinado valor, se pueden eliminar. Si N es par la suma es N*(x+(N-1)/2) y como x+N/2 es entero, se pueden conseguir los números kN+N/2=(N/2)*(2k+1).
Es decir, se pueden conseguir todos los números que tengan divisores impares. Los únicos que no se pueden lograr son las potencias de 2.[/spoiler]
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Sea n un número cualquiera entre 1000 y 2000
Supongamos que n tiene algún divisor impar:
n=p*i (p entero, i impar)
n=p*(2q+1)
n=(p*2)*(q+(1/2))
n=(q-p+1)+…+(q)+(q+1)+…(q+p)
Por lo tanto, si n tiene algún divisor impar, se puede expresar como suma de enteros positivos.
Todos los números tienen divisores impares, excepto las potencias de 2.
Así que el número que buscamos tiene que ser una potencia de 2. La única potencia de 2 entre 1000 y 2000 es 1024.
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Tu demostración es más elegante pero le falta resolver un caso: ¿qué pasa si p>q?
Por ejemplo, 24=8*3 y la suma es -6, -5, … , -1, 0, 1, … , 5, 6, 7, 8, 9. No valdría porque hay términos negativos.
En realidad no hay ningún problema porque los términos negativos se van a anular con algunos de los positivos y la solución son los que quedan:
24=7+8+9.
Lo mejor de este blog son sus lectores y las respuestas, sin duda.
A mi lo que más me gusta es cuando la respuesta empieza asÍ: «Sea n un número cualquiera …»
Si el número es impar se puede escribir siempre como suma de dos consecutivos
Si es par se divide entre 2
Si el cociente es impar actuamos como en el paso anterior y al haber dividido entre 2 añadimos el anterior y el posterior a los 2 anteriores
Ejemplo 1246
1246/2=623
623=311+312
1246=310+311+312+313
Si el cociente es par repetiríamos el proceso hasta conseguir un cociente impar
Si no lo conseguimos es porque el número es potencia de 2 y la única potencia de 2 es 1024
Con este razonamiento he probado que cualquier número distinto de 1024 se puede poner como suma de números consecutivos pero no he probado que 1024 no se pueda
Ahí lo dejo