Supongamos el siguiente Teorema:
En un triángulo rectángulo , la suma de las longitudes de los catetos es igual a la hipotenusa.
(Las definiciones de los conceptos son los habituales)
Pues entonces , pasemos a demostrar ese ¿absurdo? teorema.
Partimos del triangulo
Y construimos la «hipotenusa» a base de escalones de tal manera
Se aprecia claramente ( no hay más que «trasladarlos» vertical y horizontalmente sobre los ejes) que la suma de los segmentos desde A hasta B , son igual a la suma de los 2 catetos AC + CB.
Seguimos con mas «escalones»
y sigue claramente manteniendose la igualdad , por lo que si lo llevamos al limite de escalones , tendremos una hipotenusa recta que es la suma de los infinitos escalones y es igual a la suma de los catetos.
¿Dónde está el error en la demostración?
Visto en el blog de Francisco Blanco-Silva
[spoiler] de abajo para arriba, debería comenzar con un escalón «lleno» y terminar con uno «vacío» no sé como ponerlo graficamente [/spoiler]
un triangulo equilatero es un triangulo cuyos tres lados son de igual longitud.
ademas los escalones deben coincidir con los catetos tangencialmente, es decir en un solo punto.
jose, cuando vas a poner las soluciones al acertijo del reloj y la hora y de los peces en las cortinas
Uf! john, gracias , corregí el despiste de lo de «equilátero».
Respecto las soluciones , la del reloj ya la puse y voy a por la de los peces.
yo creo que el fallo esta en el paso de los infinitos escalones, no puedes pasar de los escalones a infinitos sin cambiar la longitud ya que los puntos se unen, y al unirse se pierde longitud, me equivoco?
Yo creo que es elemental
[spoiler]Con cada escalón, lo único que se consigue sumándolos todos, es obetenr de nuevo la medida de los catetos. Cada escalón tiene 2 catetos y una hipotenusa, por pequeño que sea. [/spoiler]
Tomando la distancia Manhattan en lugar de la euclidiana y ejes paralelos a los catetos no habría problema 😛
Ahora en serio, como ya se ha dicho antes quizás el problema está en
[spoiler]el paso al límite. A veces el límite de la longitud de una sucesión de curvas no es la longitud de la curva límite.
Creo que en este caso concreto para verlo más claro debemos mirar la derivada de la función escalera:
a veces es cero
a veces no está definida (pendiente infinita)
Entonces, escogiendo cualquier punto P, la sucesión de las derivadas en ese punto es una sucesión formada por ceros o bien «no está definida». Esta sucesión de ceros y «no está definida» en ningún caso tiene por límite a/b, que es la derivada de la curva límite.
Entonces, tenemos un ejemplo de que:
el límite de las propiedades de una sucesión de curvas no tiene por que ser la propiedad de la curva límite.
[/spoiler]
Creo que:
[spoiler] se está intentando demostrar el teorema utilizandolo a el mismo para demostrarlo; no puedo demostrar que la suma de los catetos es igual a la hipotenusa suponiendo que el teorema se cumple, cuando se divide a la hipotenusa en catetos más pequeños [/spoiler]
El problema es que la suceción tiene sentido sólo si el error en cada paso va disminuyendo o tiende a cero, en este caso el error es constante y el límite no tiene sentido.
En las típicas demostraciones de límites tienes una suceción que es mayor al valor buscado y otra que es menor y en el límite ambas suceciones convergen a un valor, esa convergencia debe ser el valor buscado.
La suma de los catetos no es igual a la longitud de la hipotenusa, sino que la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa