Coca-cola tiene 7 diseños de sus latas. Si compras un pack de 12 latas , ¿cuál es la probabilidad de que todos los diseños estén incluidos en el pack?
¿Y para m diseños y n latas por pack, con n>m?
Acertijo enviado por psierra.
9 comentarios en «Probabilidades»
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[spoiler]9218880/40353607=22,845%.[/spoiler]
Una fórmula general parece algo complicado.
Yo lo saqué de Snark y allí dicen que es aproximadamente un 47 %.
Qué razonamiento has seguido para resolverlo Mmonchi?
La probabilidad de tener n latas en un momento dado es (P1;P2;P3;P4;P5;P6;P7).
Después de sacar 1 lata esta es la situación: (1/1;0/1;0/1;0/1;0/1;0/1;0/1).
Es decir, la probabilidad de que haya una variedad es 1 y la de que haya 2, 3, 4, 5, 6 o 7 es 0.
Con 2 latas se convierte en esta: (1/7;6/7;0/7;0/7;0/7;0/7;0/7).
La probabilidad de que la segunda lata sea igual que la primera es de 1/7 y la de que sea diferente es 6/7. De modo que la probabilidad de que haya una variedad es 1/7, la de que haya 2 es 6/7 y la de que hayan 3, 4, 5, 6 o 7 es 0.
Con 3 latas es: (1/49;18/49;30/49;0/49;0/49;0/49;0/49).
Para pasar de la probabilidad de n latas a la de n+1 latas hago esta operación:
(P1*1/7;P1*6/7+P2*2/7;P2*5/7+P3*3/7;P3*4/7+P4*4/7;P4*3/7+P5*5/7;P5*2/7+P6*6/7;P6*1/7)
4 latas: (1/343;42/343;180/343;120/343;0/343;0/343;0/343)
5 latas: (1/2401;90/2401;750/2401;1200/2401;360/2401;0/2401;0/2401)
6 latas: (1/16807;186/16807;2700/16807;7800/16807;5400/16807;720/16807;0/16807)
7 latas: (1/117649;378/117649;9030/117649;42000/117649;50400/117649;15120/117649;720/117649)
8 latas: (1/823543;762/823543;28980/823543;204120/823543;378000/823543;191520/823543;20160/823543)
9 latas: (1/5764801;1530/5764801;90750/5764801;932400/5764801;2502360/5764801;1905120/5764801;332640/5764801)
10 latas: (1/40353607;3066/40353607;279900/40353607;4092600/40353607;15309000/40353607;16435440/40353607;4233600/40353607)
11 latas: (1/282475249;6138/282475249;855030/282475249;17490000/282475249;88822800/282475249;129230640/282475249;46070640/282475249)
12 latas: (1/1977326743;12282/1977326743;2595780/1977326743;73380120/1977326743;496584000/1977326743;953029440/1977326743;451725120/1977326743)
La probabilidad de tener 7 variedades con 12 latas es 451725120/1977326743, que es la que he puesto simplificada.
Y como sabes que el paso de n latas a n+1 es correcto?
Para pasar de P1 a P1′:
Si solo tengo una variedad (P1) hay una probabilidad entre 7 de que la lata sea de la misma variedad y siga teniendo una. Por tanto P1’=P1*1/7.
Para pasar de P2 a P2′:
Puedo llegar a tener dos variedades (P2′) de dos formas: si tenía una (P1) y sale una de las otras 6 variedades, es decir P1*6/7; si tenía dos (P2) y sale una de esas dos variedades, es decir P2*2/7. Por tanto P2’=P1*6/7+P2*2/7.
Y así con las 7 probabilidades.
Una comprobación es ver la probabilidad de tener 7 variedades después de sacar 7 latas, que es fácil de calcular: 1*6/7*5/7*4/7*3/7*2/7*1/7. El valor de P7 con 7 latas coincide con el calculado.
[SPOILER]
Otra forma de llegar al mismo resultado de Mmonchi es con la siguiente tablita
A B C D
6,1,1,1,1,1,1 7 665.280 4.656.960
5,2,1,1,1,1,1 42 1.995.840 83.825.280
4,3,1,1,1,1,1 42 3.326.400 139.708.800
4,2,2,1,1,1,1 105 4.989.600 523.908.000
3,3,2,1,1,1,1 105 6.652.800 698.544.000
3,2,2,2,1,1,1 140 9.979.200 1.397.088.000
2,2,2,2,2,1,1 21 14.968.800 314.344.800
En A está el esquema de repeticiones: por ejemplo la primera fila es: un modelo que se repite 6 veces y otros seis sólo uno, la segunda: cinco de un modelo, dos de otro y los cuatro que quedan de cuatro modelos distintos y la última 5 modelos se repiten dos veces y dos uno sólo.
B es el numero de formas de conseguir el esquema de repeticiones, por ejemplo la primera se puede conseguir de siete formas, ya que el modelo que se repite seis veces, puede ser cualquiera de los siete.
C es el número de permutaciones del esquema, por ejemplo la primera es permutaciones de 12 en la que un elemento se repite 6 veces 12!/6!, y la cuarta
(4,2,2,1,1,1,1) el numero de permutaciones en las que un elemento se repite 4 veces, otro 2 y otro 2 12!(4!*2!*2!)
en D está el producto de B y C la suma de D da 3.162.075.840 que dividido entre 13.841.287.201 que es igual a 0,22845244 = 22,8452%
siendo 13.841.287.201 el numero total de posibles disposiciones de 7 modelos en doce latas = 7^12
[/SPOILER]
[spoiler]
Le he dado un par de vueltas más al problema y he llegado a la conclusión que es ambiguo, ya que nos se dice nada
acerca de como están construidos los packs, se supone que existe la misma candidad de cada posible pack, pero no sabemos
si por ejemplo todos los packs que tiene 5 latas del modelo 1, 4 del modelo 2 y 3 del modelo 7, son el mismo pack o no.
Es decir si importa el orden de las latas dentro del pack, y en caso de que importe el orden de que manera importa, por ejemplo
los dos packs siguientes son el mismo o no.
1111
2222
3333
3333
2222
1111
suponiendo que haya el mismo numero de posibles packs y que el orden de las latas dentro del pack, no importe entonces la respuesta sería
combinaciones con repeticion de 7 tomadas de 5 en 5 dividido por combinaciones con repeticion de 7 tomadas de 12 en 12, o sea
(11! / (5! * 6!)) / (18! / (12! * 6!)) = 0,024886878. 2,49%
[/spoiler]
Tal y como yo entendí el problema, el orden importa, porque son combinaciones de packs distintas.
Y muchas gracias a los dos por las respuestas, me lo aclararon muy bien XD