Los puntos A0, A1, A2,.. se encuentran en una recta de tal manera que la distancia entre los dos primeros es 1.
Además, el punto An es el punto medio del segmento de extremos An+1 y An+2, para cada entero no negativo n. ¿A qué distancia de A0 está A11?
[spoiler]683[/spoiler]
Correcto Enlero. Por favor, me compartes cómo lo has resuelto?.
[spoiler] supongamos que el punto A0 ocupa un lugar x en la recta real.El punto A1 al estar a una distancia de 1 ocupara el lugar x+1 y la distancia entre A1 y A0 es x+1-x=1
para calcular A2 tenemos que A0= (A1+A2)/2
es decir x=(x+1+A2)/2
2x=x+1+A2
A2=x-1 y la distancia entre A0 y A2 es x-1-x=-1 el hecho de que salga un valor negativo no tiene importancia porque a la hora de calcular distancias tomamos el valor absoluto
Lo que si es relevante es el hecho de que en dicha distancia NO influye para nada el valor de x y esto nos permite colocar A0 en el lugar que queramos y ese lugar va a ser el punto 0 de la recta real.
Tenemos la siguiente situacion
A0 esta en el punto 0
A1 esta en el punto 1
A2 esta en el punto -1
Para calcular A3 tenemos A1=(A2+A3)/2
1=(-1+A3)/2
2=-1+A3
A3=3
Para A4 tenemos A2=(A3+A4)/2
-2=3+A4
A4=-5
siguiendo el proceso obtendriamos A5=11 A6=-21 A7=43…..
vemos que los puntos impares estan a la derecha del 0 y los
pares a la izquierda
tenemos dos sucesiones A1,A3,A5,A7….formada por 1,3,11,43 y otra A2,A4;A6….formada por 1,5,21…..
voy a buscar una ley de formacion para la primera sucesion
A1=1
A3=3=A1+2^1=1+2«^1
A5=11=A3+2^3=1+2^1+2^3
A7=43=A5+2`^50 1+2^1+2^3+2^5
—–
A(2n+1)= 1+2^1+2^3+2^5+ +2`^2n-1
nos queda teniendo en cuenta que es la suma de una progresion geometrica
A(2n+1)=1+(2((4^n)-1)/3
con un razonamiento similar para la otra sucesion
A(2n)= 1+(4((4^n)-1)/3
para n=1,2,3….
Ademas A0=0
en nuestro ejemplo para calcula la distancia de A11 a A0 tomamos n=5 y utilizando la primera formula
A(2.5+1)=A11= 1+(2((4^5)-1)/3=683
si quiero calcular la distancia de A14 tomo n=7 y utlizo la otra formula
A(2.7)=A14= 1+(4((4^7)-1)/3=5461 [/spoiler]