Distancias diferentes

Es fácil colocar 3 fichas en las casillas de un damero 3 x 3 de modo que no haya nunca 2 pares de fichas a la misma distancia. Se supone que cada ficha señala el centro exacto de una casilla y que las distancias se miden sobre una línea recta que une los centros. Salvo giros y simetrías, existen tres soluciones, como se muestra en la imagen.

La solución para un cuadrado de orden 6 resulta difícil porque por primera vez entra en escena el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 (la terna pitagórica mínima). El número de disposiciones queda muy reducido debido a que son posibles distancias de 5 unidades tanto en filas y columnas como en diagonal. Sólo hay dos soluciones, ¿puedes encontrar alguna?. Como pistas daré la colocación de tres fichas en cada una de las soluciones.

Para un cuadrado de orden 7 sólo existe una solución dificilísima de encontrar a menos que se programe por ordenador. Ahora bien, por probar a mano, quién sabe si darás con ella?. Está demostrado que el cuadrado de orden 7 es el menor cuadrado con solución para cuadrados de orden n con n fichas.

10 comentarios en «Distancias diferentes»

  2. Hola Encías Joe, tu solución sería la primera colocación de las fichas girada 180° sobre el tablero. Supongo que a eso se refiere el enunciado

  3. Los giros y simetrías no afectan a la casilla central. Es decir, si en la casilla central no hay ninguna ficha, despues de hacerle cualquier giro o cualquier simetría seguirá sin haber ninguna ficha. Por lo tanto es imposible llegar con giros y simetrías desde ninguna de las posiciones del enunciado (que tienen la casilla central vacía) hasta la mía (que tiene la casilla central ocupada). Lo cual implica que mi solución es esencialmente distinta a las del enunciado

  4. Desde luego con giros y simetrías del tablero no se llega a tu posición y la casilla central permanece invariable. Quizás no me haya explicado bien antes. Es girar sólo las fichas desde el centro geométrico del rectángulo que ocupan. En este caso sería el superior de 2 x 3. Supongo que a esos giros y simetrías se refiere el enunciado, si no, no me lo explico.
    Creo que lo relevante son las distancias entre los pares de fichas. De esta manera dos posiciones distintas en cuanto a la colocación de las fichas en las casillas del tablero son idénticas en cuanto a distancias entre pares de fichas y por tanto la misma solución.
    También supongo que dada la reputación del autor, el gran Martín Gardner, y la de la revista, la versión en castellano de Scientific American, no se habrán equivocado dando el número de soluciones del caso mas simple.

  5. «Es girar sólo las fichas desde el centro geométrico del rectángulo que ocupan. En este caso sería el superior de 2 x 3»
    Cuando giras el rectángulo superior de 2*3 te queda un rectángulo a la izquierda de 3*2 y las casillas de la línea inferior habría que reubicarlas, ni si quiera queda claro de qué manera, en la columna de la derecha. Esto no es un giro ni una simetría ni nada que se le parezca, simplemente una ordenación diferente de las casillas. Si este tipo de ordenaciones estuviesen permitidas, entonces TODAS LAS SOLUCIONES SERÍAN LA MISMA y por lo tanto sólo habría una solución, ya que es muy fácil llegar desde cualquiera de las soluciones del enunciado a cualquier otra de las soluciones del enunciado mediante transformaciones como esa.

    «También supongo que dada la reputación del autor, el gran Martín Gardner, y la de la revista, la versión en castellano de Scientific American, no se habrán equivocado dando el número de soluciones del caso mas simple»
    Me parece bastante más probable el hecho de que se equivoquen en el número de soluciones que el hecho de que se confundan con el concepto giro y simetría, la verdad. Además, como ya he explicado arriba, si fuera como tú dices también se estarían equivocando con el número de soluciones, que sería uno y no tres. Es decir, con el número de soluciones se están equivocando sí o sí, ya que si sólo se pueden hacer giros y simetrías el número de soluciones es cuatro y si se puede hacer cualquier transformación el número de soluciones es uno.

    Quizás con soluciones esencialmente distintas se refieran, como tú dices, a soluciones en las cuales varía la distancia entre fichas, eso sí implicaría tres soluciones. Pero eso no es ni de lejos lo que dice el enunciado. Si querían decir eso se explicaron increíblemente mal.

  6. Bueno Encías Joe, en algo coincidimos quizás: lo relevante son las distancias entre pares de fichas. Para mí esto es lo que determina que una posición sea solución. Si otra posición tiene las mismas distancias es la misma solución.

    Dicho esto y usando tu expresión, ni de lejos lo que quería decir con el giro de rectángulo superior de 2 x 3 con la interpretación que le has dado. Así que, olvidémonos del rectángulo 2 x 3 y, para decirlo de otra forma; es mantener el cuadro 3 x 3 ‘fijo’ y girar 180° sobre sí misma la figura que forman las fichas para llegar a la posición de tu respuesta.

    Este giro, estoy de acuerdo contigo, no es un giro de una posición a otra con rigor matematico.
    Pero ya que el enunciado excluye giros y simetrías para que no cuenten con respecto al número de soluciones entiendo (o tengo que deducir, porque algo querrá decir quién ha redactado el enunciado) que lo relevante es la figura que forma las fichas independiente de su orientación y de las casillas que ocupen en el cuadrado. En ese sentido, si giramos 180° la primera solución tenemos la figura de tu respuesta desplazada hacia abajo.

    En resumen, para mí, encontrar tantas figuras diferentes, excluyendo giros y simetrías, sería esencialmente el equivalente a decir distintas distancias entre pares de fichas de cada posición en el tablero para determinar si es solución o no. Saludos.

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