La escalera.

Tienes una escalera y un cubo de plástico como los de la imagen de arriba.

Los colocas apoyando la escalera en la pared de la manera que se indica abajo y obtienes las medidas indiocadas en el dibujo.

Se trata simplemete de calcular y

La primera imporesión es que resultará sencillo; cuando te pones a ello ves que siempre te falta algun dato y acabas rellenando una hoja de papel entera para finalmente resolverlo (o quizá hay una forma sencilla de «feliz idea» que en este caso desconozco).

¿Cuánto vale y? o mejor incluso ¿puedes dar una fórmula con valores genéricos?

2 comentarios en «La escalera.»

Mmonchi dice:

29 septiembre 2020 a las 7:33 pm

Generalizando 4 como n y llamando x al tramo inclinado inferior Show ▼

por semejanza de triángulos x/1=(n-x)/y, es decir, y =(n-x)/x. Por Pitágoras (n-x)²=y²+1. Sustituyendo y en la segunda ecuación x²(n-x)²=(n-x)²+x². Desarrollando queda x⁴-2nx³+(n²-2)x²+2nx-n²=0.

Para n=4, x⁴-8x³+14x²+8x-16=0. Las cuatro soluciones son x=2±√(5±√17), pero descartando la negativa y la mayor que 4 queda x=1,0636 y x=2,9364.
Mmonchi dice:

29 septiembre 2020 a las 7:56 pm

La solución general es: Show ▼

A partir de x⁴-2nx³+(n²-2)x²+2nx-n²=0 se convierte el lado izquierdo en un cuadrado, (x²-nx-1)²=n²+1, x²-nx-1=±√(n²+1).

De nuevo se convierte el lado izquierdo en un cuadrado,
x²-2nx/2+n²/4-(1+n²/4)=±√(n²+1),
(x-n/2)²-(1+n²/4)=±√(n²+1),
(x-n/2)²=(1+n²/4)±√(n²+1),
x-n/2=±√((1+n²/4)±√(n²+1)),
x=n/2±√((1+n²/4)±√(n²+1)).

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